自由變元

在一個謂詞公式中，形如

或

的部分稱為x的約束部分。

、

後面所跟的x稱為量詞的指導變元或作用變元。P(x)稱為相應量詞的轄域或作用域。在作用域中x的一切出現，稱為約束出現，x稱為約束變元。若x的出現不是約束出現，則稱為自由出現，x稱為自由變元。

自由變元是不受約束的變元，雖然它有時也在量詞的作用域中出現，但它不受相應量詞中指導變元的約束。 ^[3] 

對約束變元和自由變元有如下説明：自由變元是不受約束的變元，雖然它有時也在量詞的作用域內出現，但它不受相應量詞中指導變元的約束．故我們可把自由變元看做公式中的參數。若一個公式中的所有變元均呈約束出現而無自由出現，則此公式是確定的，能夠判別其真假。所以，呈約束出現的變元已經由不確定轉化為確定的了。從約束變元的概念可以看出，

是n元謂詞，它有n個相互獨立的自由變元，若對其中k個變元進行約束則成為n-k元謂詞，因此，謂詞公式中如果沒有自由變元出現，則該公式就成為一個命題。 ^[4] 

為了正確地理解謂詞公式，必須準確地判斷出量詞的作用域以及哪些是自由變元，哪些是約束變元。一般地，判斷量詞的作用域要看其後是否跟有括號，若有括號，則括號內的子公式為相應量詞的作用域，否則與量詞鄰接的子公式為其作用域。判斷給定公式中的個體變元是約束變元還是自由變元，關鍵看它是自由出現還是約束出現。 ^[3] 

例1 指出下列公式的指導變元、作用域、約束變元和自由變元。

(1)

(2)

(3)

(1) x是指導變元，

的作用域為

；y也是指導變元，

的作用域為

。在該作用域

中，x是自由出現，y是約束出現。在

的作用域

中，x、y都是約束出現。

(2) x是指導變元，相應量詞

的作用域為

，從左向右算起，變量x的第一、二次出現是約束出現，x的第三次出現是自由出現。變量y、z的出現都是自由出現。

(3) x、y是指導變元，

的作用域是

，

的作用域是

，

的作用域是

。x的最後一次出現為自由出現，其餘為約束出現，y的第一次出現為約束出現，第二次出現為自由出現。變元z為自由出現。 ^[3] 

受量詞約束的個體變元稱為約束變元 ^[2]  。

例2 “x是整數”可以表示為

。它是一個命題函數，而不是命題，不能判斷真假。故x是自由變元。

例3 “x<y”可表示為“

”。它也是一個命題函數，而不是命題。故x和y都是自由變元。