自然底數

歷史上誤稱自然對數為納皮爾對數，取名於對數的發明者——蘇格蘭數學家納皮爾(J.Napier A.D.16-17)。納皮爾本人並不曾有過對數系統的底的概念，但它的對數相當於底數接近1/e的對數。與它同時代的比爾吉(J.Burgi)則創底數接近e的對數。

通過二項式展開，取其部分和，可得e的近似計算式

e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n!，n越大，越接近的真值。

其中最後一項為餘項，它控制計算所需達到的任意精度。

P.S. e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 （取1000位）

我們的主角e，就是超越數，既然理解e的含義需要理解相關的運算，而這些運算最早都和利息有關。e和圓周率π都是超越數，π的含義可以通過下圖的割圓術來很形象的理解。假設等邊形的最長對角線長度為1，只要等邊形的邊足夠多，算出來的周長就可以越來越接近圓周率π。

但是解釋e的含義卻很難找到這樣直觀的例子，幸好在原文《An Intuitive Guide To Exponential Functions & e》中找到了很直觀的圖，只要理解了這個例子，e的含義就明白了。

假設你在銀行存了1元錢（下圖藍圓），很不幸同時又發生了嚴重的通貨膨脹，銀行存款利率達到了逆天的100%！

銀行一般1年才付一次利息，根據下圖，滿1年後銀行付給你1元利息（綠圓），存款餘額=2元

銀行發善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(紅圓)，1年存款餘額=2.25元

假設銀行超級實在，每4個月就付利息，利息生利息(下圖紅圓、紫圓)，年底的餘額≈2.37元

假設銀行人品爆發，一年365天，願意天天付利息，這樣利滾利的餘額≈2.71456748202元

假設銀行喪心病狂的每秒付利息，你也喪心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滾利的餘額≈2.7182817813元

哎呀！費了半天勁也沒多掙幾個錢啊！對！

1元存1年，在年利率100%下，無論怎麼利滾利，其餘額總有一個無法突破的天花板，這個天花板就是e，有興趣的同學可以用計算器算一下。

我們和圓周率再做個對比：

●多邊形的邊數和利滾利的次數是相似的。

●對角線為1的n邊等邊形，n趨於無窮，周長就無限接近於π，即π是周長的最大值。

●年利率為1（100%）的1元存款，利滾利的次數n趨於無窮，存款就無限接近e，即e是存款的最大值。

換種表述方法：

●每個完美的圓，其周長都是π的倍數；

●每個理想的存款，其餘額都是e的倍

有人説：我不懂微積分，估計看不懂！

沒關係！你可以這樣理解，積分是升維的過程，微分是降維的過程。

把一張張紙疊起來變成厚厚的詞典，這是從2維變成3維的升維，這是積分；

把一大塊羊肉，切成一片片羊肉片，就是從3維為變2維的降維，這是微分。

在微積分中，底數為e的指數函數ex，其導數還是這個函數ex，也就是不論求多少次導數，其導數就像一個常量一樣永遠是恆定的。不知道別人的感覺如何，反正我第一次知道時是很驚奇的。

就好像你切掉孫悟空的一部分，你以為是一小片肉，睜眼一看，居然是另一個孫悟空，而且一樣大！

這種自相似或全息性太匪夷所思、太好玩兒了！

下面就是y=ex在直角座標系中的樣子

對數中最常用的底數是10、2和e

因為我們使用10進制，數量級和科學計數法也是10的倍數。所以10x的逆運算，以10為底的對數 lg x最常用、最方便，所以又稱常用對數。

10進制是數字表示法中最容易普及的，根源是我們有10個手指，人們初學數字時都喜歡藉助10個手指學習1、2、3……10。到了學加減運算時，更是喜歡藉助手指計算。不僅老師認為這樣教學直觀，學生也認為這樣練習方便。通過教育，這個強大的習慣，被最廣泛的傳播和固化下來。但如果是8個腕足的章魚發展出了文明，可能更喜歡8進制。

因為2倍或成倍式的增長，即2x，是我們日常中最簡單的指數式增長。我們經常説數量成倍、翻倍、翻番、翻兩番，都是2倍率的增長。所以2x的逆運算，底數為2的對數 lb x 也會比較常見。

雖然對數的底數2和10是人們使用體驗和認知體驗最好的對數，但是在數學中，這兩個數卻是不自然的，因為都是在方便人的需要。

用e做底數的對數表達方式是 ln x

前面在講“利息中的e”時，曾拿π和e做過對比。

●邊數越多越接近圓，利滾利越多越接近最大收益

●一個對角線為1的多邊形，其周長最大值是π

●一個本金為1利率為1的存款，其存款餘額的最大值是e

按照古希臘的自然思想來看：

●對於一個完美的圓來説，π才是自然的，是圓本身的屬性，儘管從數值上是一個“無理”的數。

●對於最快速的指數增長來説，e才是自然的，這是指數增長本身的屬性。

而科學家們也發現，在做數學分析時，用e做底數的對數 ln x 做計算，其形式是最簡約的，用其他對數例如lg x 做計算，都會畫蛇添足的多一些麻煩。

ln x 就像美學上的“增之一分則太長，減之一分則太短”。

1、歷史上，"自然"是一種劃時代的思維方法，自然還有和諧、完美的內涵；

2、隨着利息、對數、指數的發明，人們發現了e的存在；

3、1元存1年，在年利率100%下，無窮次的利滾利就會達到e；

4、e和π一樣都是內在規律，反映了指數增長的自然屬性；

5、大自然中到處都有對數螺線的身影；

6、其他底數都是發明出來方便人使用，只有e為底數是被發現的；

7、數學家發現以e為底數的對數是計算中最簡、最美、最自然的形式；