自旋結構

設π:E→X為緊空間X上n維實向量叢。

E上的自旋結構為H¹(X;Spin(n))的元，且在H¹(X;Spin(n))→H¹(X;SO(n))→H¹(X;GL_n(

))的複合的像為叢E的同構類。 ^[2] 

等價定義為

當n≥3時，E上的自旋結構為主Spin_n叢P_Spin(E)，附加一個二重覆疊ξ:P_Spin(E)→P_SO(E)。使得ξ(pg)=ξ(p)ξ₀(g)。

當n=2時，代替Spin_n為SO₂，且ξ₀:SO₂→SO₂為連通二重覆疊。

當n=1時，

，自旋結構為X的二重覆疊。

^[1] 

定向向量叢E→X上存在自旋結構，當且僅當其第二斯蒂弗爾-惠特尼類w₂(E)=0。

當n≥1時，E的自旋結構與在纖維上的限制為非平凡的P_SO(E)的二重覆疊一一對應。

若X為連通流形，則E上自旋結構與限制在纖維上為非平凡的

有自然的一一對應。 ^[1]