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臍點
鎖定
若曲面上的一點P,其第一、二基本形式成比例,則稱P點為曲面的臍點(umbilical point)。若第二基本形式為零,則稱為平點,否則稱為圓點。在臍點處總曲率K=H2(H為平均曲率),兩個主曲率相等,任何方向均為主方向。每點均為臍點的曲面(稱為全臍點曲面)必為平面或球面
[1]
。
- 中文名
- 臍點
- 外文名
- umbilical point
- 所屬學科
- 數學(微分幾何學)
- 分 類
- 圓點,平點
- 相關概念
- 法曲率,第一、二基本量/形式等
臍點基本介紹
臍點(umbilical point)是曲面上的一類特殊點,它是第一基本形式與第二基本形式成比例的點,若曲面在某一點處的第一、二類基本量適合
臍點法曲率與臍點
法曲率是曲面理論的一個核心概念。
設
於是對於臍點,(1)式中
為常數,且對任何方向都成立,自然對於參數曲線方向亦成立,對
線顯然有
反之,若(2)式成立,則當
時,顯然對任何方向均有
。若
不全為零,不妨設
,於是令
,則有
定理 曲面上一點為臍點的充要條件是
由上述定理的證明過程可以看到,平點是臍點中的一種。
我們又稱L、M、N不全為零的臍點為圓點。球面上的點皆為圓點,而且可以證明其逆也成立,從而有:一個曲面為球面或球面一部分的充要條件是其上的每一點都是圓點。對於圓點,如上不妨令