脈衝函數

脈衝函數是英國物理學家狄拉克(Dirac)在20世紀20年代引入的，用於描述瞬間或空間幾何點上的物理量。例如，瞬時的衝擊力、脈衝電流或電壓等急速變化的物理量，以及質點的質量分佈、點電荷的電量分佈等在空間或時間上高度集中的物理量。脈衝函數也稱

函數。若在一維空間中，自變量為時間 t 的函數

，滿足下述兩個條件:

把滿足上述兩個條件的函數稱為

函數，記作

。

函數是一種廣義函數，也可以擴展到多維空間中，它的確切意義應該在積分運算下理解：其積分曲線高度為“無限高”，而寬度為“無限窄”，曲線下的面積等於1。因此，

函數有下述關係式

有了

函數的定義，就可以把處於x 軸上

點處、電量為q的點電荷，用線電荷密度函數

來描述；把一維座標

點處的質點m，用質量線密度函數

來描述；...... ^[1]  。

下面我們直接給出δ函數的幾個基本性質 ^[2]  。

性質1 (篩選性質)設f(t)是定義在實數域上的有界函數，且在t₀處連續，則

特別地，當t₀=0時，則有

性質2 δ函數為偶函數，即

。

性質3 設u(t)為單位階躍函數，即

則有

根據δ函數的篩選性質，易知δ函數的傅氏變換為

即δ(t)與F(w)=1構成一傅氏變換對，按傅氏積分公式有

這是一個關於δ函數的重要公式。

公式(1)並不是常規意義下的積分問題，故稱δ(t)的傅氏變換為一種廣義傅氏變換。在工程技術中，有許多函數並不滿足絕對可積條件，如符號函數、單位階躍函數以及正、餘弦函數等，然而利用δ函數的傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換了，從這個角度也可以看出引進δ函數的重要性 ^[2]  。

脈衝函數的拉氏變換為

。 ^[3]