胡爾維茨定理

胡爾維茨定理是關於解析函數序列的各項與它們的極限函數在一條簡單閉曲線內部零點個數之間關係的定理。

設D是一個區域，D內的解析函數序列式f_n(z)在D內閉一致收斂於函數f(z)，f(z)不恆為0，並設Γ是D內的任意一條簡單閉曲線，其內部也在D內，且Γ不經過函數f(z)的零點，則存在一個依賴於曲線Γ的正整數N，使得當n>N時，函數式f(z)在Γ內部的零點個數等於函數f_n(z)在Γ內部的零點個數。 ^[1] 

由胡爾維茨定理可以推出：若解析函數序列式f_n(z)都在D內單葉，則f(z)在D內也單葉。 ^[2] 

解析函數是區域上處處可微分的複函數。17世紀，L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學時已發現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函數Φ(x，y)與流函數Ψ(x，y)有連續的偏導數，且滿足微分方程組，並指出f(z)=Φ(x，y)+iΨ(x，y)是可微函數，這一命題的逆命題也成立。

柯西把區域上處處可微的複函數稱為單演函數，後人又把它們稱為全純函數、解析函數。B.黎曼從這一定義出發對複函數的微分作了深入的研究，後來，就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。