總變差

實值函數ƒ定義在區間[a,b]⊂'R的總變差是一維參數曲線x→ƒ(x) ,x∈[a,b]的弧長。連續可微函數的總變差，可由如下的積分給出

任意實值或虛值函數ƒ定義在區間[a,b]上的總變差，由

定義。其中_P為區間[a,b]中的所有分劃。

定義在有界區域上的實值可積函數ƒ的總變差定義為

其中

是Ω中的緊支集上全體連續可微向量函數構成的集合,

是本質上確界範數。

若ƒ可微，上式可簡化為

在一個度量空間上，集函數

，其總變差為：

其中

為E的劃分。 如果

是符號測度，通過漢分解定理可知：

首先需要利用高斯散度定理證明一個等式。

在假設條件下，下面的等式成立：

引理證明

由高斯散度定理，將

代入，可得

由於在

的邊界上

，從而

注意到

代入上式，移項即得

如果函數f的總變差有限，則稱函數f為有界變差函數。