線性變分問題

線性變分問題是一類變分問題，指歐拉-拉格朗日方程是線性方程的一類變分問題。

二次泛函

的歐拉-拉格朗日方程是線性方程

考慮等周問題：在條件

下求泛函K滿足端點條件y(a)=y(b)=0的平穩曲線。用拉格朗日乘數法，平穩曲線是斯圖姆-劉維爾問題

的屬於特徵值λ的特徵函數。

K(y)在條件

和y(a)=y(b)=0之下的最小值是最小特徵值λ₁。泛函K所有特徵值可以排成一個上升的無窮序列λ₁≤λ₂≤...≤λ_n-1≤λ_n≤...，相應滿足

的特徵函數是y₁,y₂,...,y_n,...，那麼對於每個n，特徵值λ_n是泛函K(y)在條件

下的極小，而實現這個極小的函數y(x)是y_n。 ^[1] 

(variational problem)

變分問題是有關求泛函的極大值和極小值的問題。最早研究的重要變分問題有：

1、最速降線問題：給定不在同一鉛垂線上的兩點A和B，求出連結A和B的一條曲線使其具有這樣的性質：當質點受重力作用沿着這條曲線由A下滑至B時所需時間為最少。

2、短程線問題：求曲面φ(x,y,z)=0上所給二點間長度最短的曲線，這條最短曲線稱為短程線或測地線。

3、基本的等周問題：求長為一定的封閉曲線l，使其所圍的面積S為極大。