維數論

維數論是歐幾里得空間的維數概念的推廣。對於某些拓撲空間指定一個非負整數，稱為該空間的維數。此外，對空集

指定為-1，而對“無限維”空間指定為

。拓撲空間的維數有三種不同方式定義，即覆蓋維數(dim)、小歸納維數(inddimension theory)和大歸納維數(Ind)。它們都具有維數的特徵， 但適用的範圍不同，分別是吉洪諾夫空間、正則空間和正規空間。

維數最初是對緊可度量化空間引入的， 其後擴張到可分可度量化空間。對於可分可度量化空間維數論的基本定理，在所有度量空間或緊空間中並不成立。因此，對於一般拓撲空間有三個維數論。龐加萊（J.H.Poincaré）於1912年略述了維數的歸納性定義。

維數函數的第一個精確定義是由布勞威爾（L. E. J.Brouwer）於1913年敍述的。布勞威爾的維數函數與維數Ind在局部連通緊可度量化空間中是一致的。但是布勞威爾的維數函數僅是 用來證明“若

，則空間

與

不同胚”的一個輔助工具。

維數理論是由門格（K.Menger,)和烏雷松（ypwcon,II. C.)首創的。

ind的定義是烏雷松於1922年和門傑於1923年給出的。Ind的定義是切赫 (Cech,E.)於1931年給出的。覆蓋維數dim定義於切赫於1933年的論文中。由切赫給出的dim定義僅適用於正規空間。卡切托夫（M.Katêtov）於1950年修改了這個定義。斯米爾諾夫（M.Cmhpiiqb）於 1956年研究了另一類覆蓋導出同樣的維數函數。吉洪諾夫空間的維數論最早系統的講解是在吉爾曼 （L.Gillman）和傑裏遜（M.Jerison）於 1960 年的著作中。 ^[1] 

設

是復簇，ψ：

是亞純映射，G⊂

是它的圖象。如果射影

也是固有變形，則ψ叫作雙亞純映射。對於一個n維緊複流形V，我們定義V的小平維數（或標準維數）如下：設K是V的標準叢和

。如果

不空，設d是

的最大公因數，則存在一個正整數

，正數α，β和非負整數k，對於

，有下列不等式：

，而

。我們確定

，如果

為空集，我們定義

。k(V)是V的一個雙亞純不變量，取下列數值之一：

。如果k(V)是正的，則存在一個複流形的纖維空間

，使得：

1、

雙亞純等價於V；

2、W是維數為k(V)的非奇射影族；

3、f是一個滿射和正常解析映射；

4、任意一般纖維

是不可約的；

5、

。

而且這樣的纖維空間在雙亞純等價下是唯一的。

注意：小平維數（標準維數）在一般情形下不是變形的不變量。 ^[2]