小平維數

小平維數是以小平邦彥命名的代數簇的一個數值不變量，以表彰他首先指出這個不變量在代數簇分類中的重要作用。

設 V 是非奇異代數簇，

是由線性系

定義的有理映射（這裏

是 V 的典範類），V 的小平維數

定義為

。如果對所有的

，假設

。小平維數是雙有理不變量，即在雙有理變換下不變。

當

當光滑代數曲線就是射影曲線

的光滑代數曲線就是橢圓曲線；

的光滑代數曲線就是所有虧格大於 1 曲線。

從分類的角度來看，代數曲面的雙有理分類已經完成。任何曲面通過收縮有限條(-1)-曲線可以得到一個極小模型。除了有理曲面和直紋曲面外，這樣的極小模型是唯一的。

雙有理分類可以把曲面大致分為四類：

1、有理曲面和直紋曲面；

2、阿貝爾曲面，K3曲面，恩裏克斯曲面，雙橢圓曲面；

3、橢圓曲面；

4、一般型曲面。

代數曲面的同構分類還遠未完成。小平邦彥在 20 世紀 60 年代系統地研究了橢圓曲面。但是，一般型曲面的分類（對應於虧格大於 1 的曲線的分類）還只是剛剛開始。 ^[1]