系統F

正如同lambda演算有取值於（rang over）函數的變量，和來自它們的粘合子（binder）；二階lambda演算取值自類型，和來自它們的粘合子。

作為一個例子，恆等函數有形如A→ A的任何類型的事實可以在系統F中被形式化為如下式判斷：

這裏的α是類型變量。

在Curry-Howard同構下，系統F對應於二階邏輯。

系統F，和甚至更加有表達力的lambda演算一起，可被看作Lambda立方體的一部分。 ^[1] 

布爾類型被定義為：

，這裏的α是類型變量。這產生了下列對布爾值TRUE和FALSE的兩個定義，如下式：

接着，通過這兩個λ-項，我們可以定義一些邏輯算子：

實際上不需要IFTHENELSE函數，因為你可以只使用原始布爾類型的項作為判定（decision）函數。但是如果需要一個的話：

謂詞是返回布爾值的函數。最基本的謂詞是ISZERO，它返回TRUE當且僅當它的參數是邱奇數0：

系統F允許以同Martin-Löf類型論有關的自然的方式嵌入遞歸構造。抽象結構（S）是使用構造子建立的。有函數被定類型為：

當S自身出現類型

中的一個內的時候遞歸就出現了。如果你有m個這種構造子，你可以定義S為：

例如，自然數可以被定義為使用構造子的歸納數據類型N

對應於這個結構的系統F類型是

。這個類型的項由有類型版本的邱奇數構成，前幾個是：

如果我們反轉curried參數的次序（比如

），則n的邱奇數是接受函數f作為參數並返回f的n次冪的函數。就是説，邱奇數是一個高階函數-- 它接受一個單一參數函數f，並返回另一個單一參數函數。 ^[2] 

本文用的系統F版本是顯式類型的，或邱奇風格的演算。包含在λ-項內的類型信息使類型檢查直接了當。JoeWells（1994）設立了一個"難為人的公開問題"，證明系統 F的Curry-風格的變體是不可判定的，它缺乏明顯的類型提示。

Wells的結果暗含着系統F的類型推論是不可能的。一個限制版本的系統F叫做"Hindley-Milner"，或簡稱"HM"，有一個容易的類型推論算法，並用於了很多強類型的函數式編程語言，比如Haskell和ML。 ^[2]