等周不等式

等周不等式,是一個幾何中的不等式定理,説明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關係。其中的“等周”指的是周界的長度相等。等周定理説明在周界長度相等的封閉幾何空間中,以圓形的面積最大；另一個説法是面積相等的幾何形狀之中,以圓形的周界長度最小。

雖然等周定理的結論早已為人所知,但要嚴格的證明這一點並不容易。首個嚴謹的數學證明直到19世紀才出現。之後,數學家們陸續給出了不同的證明,其中有不少是非常簡單的。等周不等式有許多不同的推廣,例如在各種曲面而不是平面上的等周問題,以及在高維的空間中給定的“表面”或區域的最大“邊界長度”問題等。

在物理中,等周不等式問題和跟所謂的最小作用量原理有關。一個直觀的表現就是水珠的形狀。在沒有外力的情況下（例如失重的太空艙裏）,水珠的形狀是完全對稱的球體。這是因為當水珠體積一定時,表面張力會迫使水珠的表面積達到最小值。根據等周不等式,最小值是在水珠形狀為球狀時達到。 ^[1] 

若為封閉曲線

的周界長,為曲線

所包圍的區域面積,則有

,式中等號當且僅當

是圓時成立。

這個等周不等式不僅説明了等周長

的所有平面簡單閉曲線中, 圓周圍成的面積最大（等面積的多有單連通區域中,圓的邊界最短） ,而且説明了周長

與面積

之間的關係,即周長的平面簡單封閉曲線所圍的面積

不超過

。

以下給出一個較初等的證明,分5步。

設一條長度為P的封閉曲線圍成的區域的最大面積為

,亦以

、

來標記該區域及其邊界；那麼該圖形應當滿足如下性質：

1、

是一個凸區域。

假使不然,

是一個凹區域。那麼根據定義,可以在

內找到兩個點M和N,使其連線MN有一部分M'N'不包含於A的內部。然而如以M'N'替換掉原來的那段弧,則周長將減少,面積將增加,從而將新圖形擴大若干倍後得到一個同樣周長,面積比

大的區域。矛盾。

2、凡平分周長

的弦必平分面積A。

如果一弦MN平分

而將

分為大小不同的兩部分

,那麼去掉

而將

對MN做對稱,則可得到一個周長仍然等於

而面積等於

的區域,矛盾。

3、凡平分A的弦,無論方向,長度相等。

如果不然,不妨設兩弦MN和M'N'均平分面積A而MN>M'N'。那麼分別選取MN及其任一側的曲線（半個,不妨記為P₁}）,以及M'N'及其任一側的區域（另行劃分的半個,記為 P₁

）,並粘合在一起使得M'N'落在MN上,M與M'重合。

此時,新的圖形仍然滿足周長為,面積為

的性質,且由於,

應落於MN之間。

以M為中心,分別對P₁和P'₁做

和

倍的放縮,使兩曲線的終端吻合（即N和N'經過變換之後重合,記為 N''）,得到兩個分別與原區域相似的區域Q₁和Q'₁。適當調整

和

的值,使曲線

的周長仍為

。

此時Q₁和Q'₁的長度分別等於

和

,所圍的面積分別等於

和

；並且由於MN和MN'經過放縮後重合,有

。

由於曲線

的周長仍為P,故

,從而

；而由

,

。所以

。

所以

的面積為

,與A最大矛盾。

4、若

平分,O為MN中點,那麼對

上任意一點R,都有

。

以O為中心,做MRN的中心對稱圖形,

對稱到R'；那麼圖形MR'NRM的周長為,面積為

。由第3步知MN和RR'的長度應該相等,而O也是RR'的中點,故得結論。

5、由於O到

上任意一點的距離都相等,所以

是圓。

平面上的等周問題是等周問題最經典的形式,它的出現可以追溯到很早以前。這個問題可以被表述為：在平面上所有周長一定的封閉曲線中,是否有一個圍成的面積最大？如果有的話,是什麼形狀？另一種等價的表述是：當平面上的封閉曲線圍成的面積一定時,怎樣的曲線周長最小？

雖然圓看似是問題的表面答案,但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現於1838年——雅各·史坦納以幾何方法證明若答案存在,答案必然是圓形。不久之後他的證明被其他數學家完善。

其方法包括證明了不完全凸的封閉曲線的話,能以“翻折”凹的部分以成為凸的圖形,以增加面積；不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓,是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的嚴格證明。

1901年,赫爾維茨憑傅里葉級數和格林定理給出一個純解析的證明。