第一基本定理

微積分基本定理描述了微積分的兩個主要運算──微分和積分之間的關係。

定理的第一部分，稱為微積分第一基本定理，表明不定積分是微分的逆運算。這一部分定理的重要之處在於它保證了某連續函數的原函數的存在性。

定理的第二部分，稱為微積分第二基本定理或“牛頓-萊布尼茨公式”，表明定積分可以用無窮多個原函數的任意一個來計算。這一部分有很多實際應用，這是因為它大大簡化了定積分的計算。

該定理的一個特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）證明和出版。定理的一般形式，則由艾薩克·巴羅完成證明。

微積分基本定理表明，一個變量在一段時間之內的無窮小變化之和，等於該變量的淨變化。

我們從一個例子開始。假設有一個物體在直線上運動，其位置為x(t)，其中t為時間，x(t)意味着x是t的函數。這個函數的導數等於位置的無窮小變化dx除以時間的無窮小變化dt（當然，該導數本身也與時間有關）。我們把速度定義為位置的變化除以時間的變化。用萊布尼茲記法：

整理，得

根據以上的推理，x的變化──

，是

的無窮小變化之和。它也等於導數和時間的無窮小乘積之和。這個無窮的和，就是積分；所以，一個函數求導之後再積分，得到的就是原來的函數。我們可以合理地推斷，這個運算反過來也成立，積分之後再求導，得到的也是原來的函數。 ^[1] 

詹姆斯·格里高利首先發表了該定理基本形式的幾何證明，艾薩克·巴羅證明了該定理的一般形式。巴羅的學生牛頓使微積分的相關理論得以完善。萊布尼茨使得相關理論實現體系化並引入了沿用至今微積分符號。 ^[1]