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穩定流形
鎖定
- 中文名
- 穩定流形
- 外文名
- stable manifold
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 動力系統(微分動力系統)
- 相關概念
- 穩定集,不穩定集等
穩定流形基本介紹
穩定流形和不穩定流形在結構穩定性、Ω穩定性以及分歧理論等許多課題的研究中起着十分重要的作用,穩定流形與不穩定流形的方法是當前研究微分動力系統結構穩定性等問題的三個主要方法(即泛函分析法、穩定流形法以及典範方程組法)之一。穩定流形本身的理論也是微分動力系統研究的重要內容,作為穩定流形推廣的穩定集也在拓撲動力系統的研究中發揮着重要的作用。
穩定流形穩定集與不穩定集
設
是一度量空間,
是同胚,對任意
,集合
記
為φ過點
的軌道,集合
穩定流形穩定流形定理
設M是黎曼流形,
是
微分同胚,
是
的緊緻雙曲不變集,海爾士(Hirsch,M.W.)和皮尤夫(Pugh,C.)證明了重要的穩定流形及不穩定流形定理:若
是由
的雙曲性所決定的連續直和分解,則存在ε>0,使得對任意的
,局部穩定集
是與
切於x的
嵌入k維圓盤(這裏
);局部不穩定集
是與
切於x的
嵌入
維圓盤(這裏
),並且,當
在
中變化時,這兩族圓盤分別依
變化而連續變化。該定理表明:局部穩定集
和局部不穩定集
都是
嵌入子流形,因而穩定集
和不穩定集
是
浸入子流形,這樣一來,就有理由稱局部穩定集和局部不穩定集為局部穩定流形和局部不穩定流形,對M上的
向量場情形,其穩定流形與不穩定流形定理的內容與
微分同胚情形完全類似,作為特殊情況,當
僅由一個不動點(奇點)組成時,這就是雙曲不動點(雙曲奇點)的穩定流形與不穩定流形定理。例如,設
是巴拿赫空間,
是雙曲線性映射,
是由A決定的直和分解,於是有