生成子空間

設

是Rⁿ中任一組向量。記

的所有線性組合的集合為

，即

稱

為向量組

生成的子空間。

1.設

是Rⁿ中任一組向量。則

是Rⁿ的一個子空間。

2.設W是Rⁿ的一個子空間，

是W中一組向量，Span（α_1，α_2，```，α_m）⊆ W。

3.推論：設W是Rⁿ的一個子空間，

是W中一組向量，Span（α_1，α_2，```，α_m）= W的充分必要條件：W每個向量可以

線性表出。即Rⁿ的一個子空間的一組向量可以線性表出這個子空間的每個向量，那麼這個子空間與子空間內的這一組向量的生成子空間是等價的。

當Span（α_1，α_2，```，α_m）= W時，稱

是子空間W的一組生成元。

1）如果α₁，α₂，···，α_m線性無關，則其為生成子空間Span{α₁，α₂，···，α_m }的一組基 ^[1]  ；

2）如果α₁，α₂，···，α_r是向量組α₁，α₂，···，α_m的最大線性無關組，則 ^[1] 

1.Span{α₁，α₂，···，α_m }= Span{α₁，α₂，···，α_r}

2.α₁，α₂，···，α_r是Span{α₁，α₂，···，α_m }的一組基

1.：

，從而

非空 ^[2]  。

任取

的兩個元素：

有

和

可推出非空，和線性運算封閉。故

是Rⁿ的一個子空間。 ^[2] 

2.由向量子空間的定義：Rⁿ中任意向量的線性組合包含於W（是W中的元素），而

一是Rⁿ中任一組向量，它的線性組合即生成的子空間Span（α_1，α_2，```，α_m）也是包含於W的。

3.由定理2，Span（α_1，α_{2，```，</sub>α<sub>m</sub>）⊆ W。證明Span（α<sub>1，</sub>α<sub>2，```，}α_m）= W，只需證明Span（α_1，α_2，```，α_m）⊇W。

由條件，

，α可由α_1，α_{2，```，</sub>α<sub>m</sub>線性表出，α∈Span（α<sub>1，</sub>α<sub>2，```，}α_m），由於α的任意性，Span（α_1，α_{2，```，</sub>α<sub>m</sub>）⊇W也成立。故得Span（α<sub>1，</sub>α<sub>2，```，}α_m）= W。