玻耳茲曼統計

路德維希·玻爾茲曼（Ludwig Edward Boltzmann，1844年2月20日-1906年9月5日），奧地利物理學家和哲學家，是熱力學和統計物理學的奠基人之一。作為一名物理學家，他最偉大的功績是發展了通過原子的性質（例如，原子量，電荷量，結構等等）來解釋和預測物質的物理性質（例如，粘性，熱傳導，擴散等等）的統計力學，並且從統計意義對熱力學第二定律進行了闡釋。

玻爾茲曼的貢獻主要在熱力學和統計物理方面。1869年，他將麥克斯韋速度分佈律推廣到保守力場作用下的情況，得到了玻爾茲曼分佈律。1872年，玻爾茲曼建立了玻爾茲曼方程（又稱輸運方程），用來描述氣體從非平衡態到平衡態過渡的過程。1877年他又提出了著名的玻爾茲曼熵公式。 ^[2] 

全同粒子的經典統計法。又稱麥克斯韋－玻耳茲曼統計或經典統計。考慮由同一種分子組成的氣體。把每個分子看成近獨立的子系統,它可能有Ki個能量為εi的狀態。設有Ni個分子處於這組狀態中。經典統計中對於狀態的佔有方式沒有限制，而且每個分子都是可以識別的。把Ni個分子放到Ki個狀態中的方式共有種，於是氣體的熵滿足：

其中：

是第i個能量等級；μ是化學勢；k是波爾茲曼常數；T是絕對温度；N是顆粒的總數；Z是分部函數。

在保證氣體中總分子數和總能量一定的前提下，要求熵達到最大值,即可求得狀態i的平均佔有率或分佈函數ni=Ni/Ki。為此應引入拉氏未定乘子α和ß，求解結果是(計算中使用斯特令近似公式lnNi=NlnN-N)

可以證明α=µ/T,ß=-1/T,µ是化學勢，T是開爾文温度，這就是玻耳茲曼分佈。它還可以從吉布斯正則分佈，或作為量子統計法的極限得到。

麥克斯韋－玻耳茲曼統計可用於推導出麥克斯韋－玻耳茲曼分佈（對於三維盒中的經典粒子的理想氣體）。 但是，它們也適用於其他情況。 Maxwell-Boltzmann統計可用於將該分佈擴展到具有不同能量 - 動量關係的粒子，如相對論粒子（Maxwell-Jüttner分佈）。 此外，可以考慮假設情況，例如具有不同數量維數（四維，二維等）的盒子中的粒子。 ^[3] 

麥克斯韋 - 波爾茲曼統計量通常被描述為“可區分”的經典粒子的統計。換句話説，狀態1中的粒子A和狀態2中的粒子B的構造與粒子B處於狀態1並且粒子A處於狀態2的情況不同。該假設導致適當的（玻爾茲曼）統計能量狀態的粒子，但是產生熵的非物理結果，如Gibbs悖論所體現的。

同時，沒有真正的粒子具有麥克斯韋 - 波爾茲曼統計所要求的特性。事實上，如果我們把某種類型的所有粒子（例如電子，質子等）視為不可區分的話，吉布斯的悖論就被解決了，這個假設可以在量子力學的背景下證明。一旦做出這個假設，粒子統計數據就會改變。量子粒子是玻色子（代替Bose-Einstein統計）或費米子（遵循Pauli排除原則，而不是費米狄拉克統計）。這兩個量子統計量在高温和低粒子密度的極限中接近麥克斯韋 - 波爾茲曼統計，而不需要任何特殊的假設。 ^[4] 

玻耳茲曼統計法與吉卜斯系綜統計法是統計物理中兩種重要方法。這兩種方法有不少相似之處也存在不少差異。

對系統的要求：對系統的要求玻耳獲曼統計法（以下簡稱玻氏方法）只適用於由近獨立粒子組成的孤立系統。而吉卜斯系綜統計法（以下簡稱系綜方法）適用於粒子間可以有相互作用的孤立系統、封閉系統或開放系統。

.描述系統微觀狀態的方法：為簡單起見，設系統由N個全同粒子組成,且每個粒子的自由度數為r。在玻氏方法中,系統的微觀狀態由拼空間(它是由粒子的r個廣義座標和r個廣義動量組成的2r維笛卡爾空間)，中N個代表點描述。由於玻氏方法所處理的是能量上彼此獨立的拉子組成的系統，對於這種系統，由於在拼空間中當代表粒子狀態的相點確定時，粒子的能量也就確定了，而與其他相點的位置無關，所以各相點具有統計獨立性，因而用

空間來描寫這種系統的狀態是方便而合適的。

在系綜方法中，由於組成系統的粒子之間可以有相互作用，所以當一個粒子的座標與動量確定時，共能量是不確定的，它與其他粒子的相互作用勢能及共他粒子的座標有關，因此每個粒子不具有玻耳茲曼統計意義上的統計獨立性，不能應用户空間來描述這類系統的狀態。為解決這個困難，必須將整個系統作為一個整體來看待，這就需耍用系統的f=Nr個廣義座標q1,q2,…,qf及相應的f個廣義動量p1,p2,...,pf構成系統的r空間來描寫系統的狀態。

可以從正則分佈導出玻耳茲曼分佈，反之，也可以從玻耳茲曼分佈導出正則分佈。’

兩者都基於等幾率假設，即假定處於統計平衡的孤立系統所有微觀狀態出現的幾率相等。

玻耳茲曼分佈與正則分佈的函數形式相似，由它們導出的熱力學公式的形式也相似。

當討論由近獨立粒子所組成的孤立系統時，兩種統計法所得結果相同，兩者是等價的。前面已提及最可兒分佈井不窮盡全部可能的微觀狀態，但對於由很大數量的粒子組成的系統來説，由於熱力學幾率分佈曲線在極大值附近非常陡，以致共他分佈所對應的微觀態數與最可幾分布對應的微觀態數相比非常少，可以忽略它們對宏觀量的貢獻。 ^[5] 

同位素分離在工業和科研上具有重要意義，被分離後的同位素在核反應、生物化學、地質化學研究方面有許多應用.如在和熱中子反應中具有較大俘獲截面、用來製作高緻密度的吸收劑和屏蔽以及更高效的中子探測器。由於同位素的物理和化學性質的差異取決於質量的不同，因此可用離心機進行分離。將同位素氣體分子放人半徑為R的離心機轉筒中，轉筒以恆定角速度。筒內分子就處在恆定的慣性離心力場中，取和筒一起轉動的座標系。可見，不同質量的分子在相同的；處其密度不同，這樣就可把它們分離開。

激活介質是指在一定的外界條件下，它的某兩個能級實現了粒子數反轉並對特定頻率的光基有放大作用的介質.製造激光器一定要有激活介質。因為不是任何物質的任意兩個能級間都能實現粒子數反轉的,因此必須尋找建立某兩個能級間粒子數反轉的條件。根據熱平衡態下粒子數分佈滿足玻耳茲曼分佈律而建立起的速率方程，可用來判斷滿足粒子數反轉的條件。在原子體系中每個能級的粒子數變化可分成與外界輻射場有關的部分(受激項)和與外界作用無關的部分(弛豫項)。用體表示光對介質的激勵概率，用P表示弛豫概率，它等於自發輻射概率與無輻射概率之和。

等離子體是電離氣體，是物質的第四態。等離子體應用在受控熱核反應、磁流體發電機和通訊、空間技術等各領域.等離子體中發生的一系列物理現象都與等離子體的性質和狀態有關，因此測量等離子體的温度、電流一電壓關係等參數是很重要的。靜電探針是一種方便的測量方法，把探針插人等離子體中時，在等離子體和探針表面交界處會形成一個負電勢的薄層，稱為等離子體的“鞘”。這是因為熱平衡時電子和離子的平均平動動能相等，而電子質量則小得多，所以電子的平均熱運動速率比離子大，使一開始到達探針表面的電子數多於離子數,它們產生負電勢阻止電子流的進一步增大，達平衡時，離子流和電子流密度相等，探針上電流為零，在探針表面就形成一層負電勢的等離子體“鞘”。這時電子要從等離子體到達探針表面就必須克服由“鞘”形成的勢壘，因此探針電勢低於等離子體空間的電勢。利用外電路逐漸改變探針的電勢，可測得探針上的伏安特性曲線。當等離子體處於平衡時,電子能量服從麥克斯韋分佈，則依靠熱運動能量克服探針表面附近的負電勢而到達探針表面的電子電流服從玻耳茲曼分佈。 ^[6]