無理函數

無理函數是非有理函數的代數函數,稱為無理函數，例如，函數

等都是無理函數。 ^[2] 

無理函數一般是多層次複合函數，由冪函數與其他各類函數或複合函數再複合而成。它聯繫着冪函數，而冪函數是一類特殊的上凸函數；它聯繫着解析幾何中的兩點間距離公式，而距離公式是解析幾何的重要內容之；它聯繫着柯西不等式的根式形式，而柯西不等式是求解不等式的重要工具，因此它是很重要的。

無理函數的積分一般要採用第二類換元法把根號消去，一般稱這種方法為根代換，根代換之後一般會得到有理函數的積分形式。 ^[3] 

主要目的就是去掉根號，變為有理函數的積分。

（1）形如

的積分

令

，則

於是

為t的有理函數積分。

（2）形如

積分

令

，即可仿照上面的積分進行計算。 ^[4] 

例1 計算

。

解: 令

，那麼

，於是

和

，因此

可以將

分解成

，利用部分分式或利用公式取

來計算：

例2 計算

。 ^[3] 

解: 設

，即

，則