測度問題

測度問題是測度論中的著名問題。

對於直線而論，人們總希望直線上某個測度，關於它可測的集合越多越好。可測集多，意味着可測函數多，從而可積函數也多。對於平面或高維空間的情形也是這樣。

所謂測度問題，就是（直線上）是否存在具有下列性質的測度：

1、具有可列可加性；

2、（直線上的）所有子集都可測；

3、具有平移不變性；

4、[0,1]的測度是1。

測度問題是勒貝格(Lebesgue,H.L.)於1904年提出的，這個問題已經解決，結論如下：去掉測度論性質2,3,4中任何一條，容易舉例説明滿足其餘三條的測度是存在的。性質1,2,3,4全都滿足的測度是不存在的，特別地，直線上必存在不是勒貝格可測的集，這首先是由維塔利(Vitali,G.)於1905年指出的。

如果將測度問題性質1換成1'：具有有限可加性，則滿足1',2,3,4的測度是存在的，但不惟一，這就是著名的巴拿赫定理。

對於空間Rⁿ(n≥2)，則有結論：

當n=2時，滿足1',2,3,4的測度是存在的。

當n≥3時，滿足1',2,3,4的測度是不存在的。

這個問題是由豪斯多夫(Hausdorff,F.)於1914年提出並於1923年解決的。 ^[1]