混疊

（1）從時域信號重構看混疊

如圖1，圖1中的信號是

的一部分，它的頻域只在

處有一條譜線。當用

進行採樣時，得到一條直流的曲線。當用

採樣的時候，得到一個三角波信號。當用

對它進行採樣的時候，也得到一個更低頻的三角波信號。採樣信號不僅不能重構原信號，出現混疊頻率，即採樣信號不能保持原信號的頻譜特性。

（2）頻域角度看混疊

連續信號經過離散採樣後，得到的離散信號的傅氏譜為原信號傅氏譜SF倍的週期延拓，如果原信號中包含的最高頻率成分

，則在離散信號譜中相應週期的譜會出現重疊。反之，如果

，即採樣頻率大於分析信號中最高頻譜成分的2倍，則採樣後離散信號頻譜中不會出現頻率混疊。 ^[1] 

採樣定理的一個重要指導意義是給出了消除混疊的最低條件，混疊本身是採樣的必然效應，只不過如果混疊到原信號帶寬範圍內的頻率成分為零的話，信號不會被破壞，也就能“完全重構”了。消除頻率混疊的途徑有兩種：

（1）提高採樣頻率fs，即縮小採樣時間間隔。然而實際的信號處理系統不可能達到很大的採樣頻率。另外，許多信號本身可能含有

範圍內的頻率，不可能將採樣頻率提高到

。所以，通過提高採樣頻率避免混疊的方法是有限制的。

（2）採用抗混濾波器。在採樣頻率fs一定的前提下，通過低通濾波器濾掉高於fs/2的頻率成分，通過低通濾波的信號則可避免出現頻率混疊。

在理想濾波的情形下，濾掉高於Nyquist頻率的信號成分即可不產生混疊。然而，實際的濾波器都不具有理想濾波器的特性，如圖2所示。所以，實際處理過程中一般應滿足下面的關係：

根據混疊機理，可以得出分析信號的混疊頻率計算公式，設實際信號的頻率為

，採樣頻率為

，並且

，經採樣分析得到的混疊後頻率為

，則有如下公式：

式中，

，其中

為取整操作，僅保留小數點的整數部分。

一種常見的發生混疊的情況就是電影。 這是因為不斷以24幀/秒的速率對變化的圖像進行離散採樣。 奈奎斯特抽樣定理告訴我們，如果在圖像平面中的任何一點出現混疊存在比

(在這種情況下為12幀/秒)更高的頻率分量或光暗過渡，混疊現象就會發生。 但是在許多情況下，這個光暗的過渡可能發生得比這個更快 - 比如馬車輪或螺旋槳高速旋轉。

考慮一個有八個輻條車輪以3轉/秒（或180rpm）的轉速旋轉。 在這種情況下，車輪會在每幀內移動一個輻條，因為：

因此，貨車輪將看起來靜止不動。 但是這種情況非常少見，因為車輪恰好按照這個速度旋轉的概率非常小。

考慮如果車輪以一個低於這個數值的速率轉動，比如2.5轉/秒。 車輪將移動83%個輻條間距每幀。 所以，比較兩個相鄰的幀，我們會看到下面的現象：

人的大腦在看這些電影幀的時候會存在兩個解釋。 一個解釋是輪子已經移動了83%沿順時針方向輪輻間隔。 另一種解釋就是它已經沿着逆時針方向移動了17%的輻條間隔。 事實證明大腦喜歡後者的解釋，所以你感覺到的結果是車輪以比實際速度慢的速度向後（逆時針）移動移動。 ^[2] 

所定的取樣頻率若取樣的頻率太低，就會產生取樣的結果和原來的樣本不同的狀況。若一樣本的頻譜是帶限頻譜，也就是在某一頻率

之外都為0的頻譜，那麼取樣頻率

就必須要大於兩倍的

，才不至於使頻譜產生交疊，也因此產生失真。

數學式

即 奈奎斯特准則。