水平集方法

水平集方法（Level Set Method） 是一種用於界面追蹤和形狀建模的數值技術。水平集方法的優點是可以在笛卡爾網格（Cartesian grid）上對演化中的曲線曲面進行數值計算而不必對曲線曲面參數化（這是所謂的歐拉法（Eulerian approach））。水平集方法的另一個優點是可以方便的追蹤物體的拓撲結構改變。例如當物體的形狀一分為二，產生空洞，或者相反的這些操作。所有這些使得水平集方法成為隨時間變化的物體建模的有力工具，例如膨脹中的氣囊， 掉落到水中的油滴。 ^[1] 

理解水平集方法的最簡單有效地方式是先學習相應的例子，然後學習技術性很強的定義。右側的圖片示例了水平集的幾個重要思想。在左上角有一個形狀--由一個良性邊界包圍的有界區域。在它的下面，紅色的曲面是相應的水平集函數

的圖像，

的某個水平面決定了左上角的形狀，假設其中的藍色平面即為x-y平面，則形狀的邊界可以表示為

的零水平集，並且該形狀是平面上滿足

大於等於零的點的集合。

在上面的一行，形狀改變其拓撲結構，分裂為兩個形狀。如果用邊界曲線參數表示形狀，這一演化過程是很難表達的。這需要一個算法能夠檢測到形狀分裂的時刻，然後為分裂後的曲線構造新的參數。另一方面，從下面的一行可以看出水平集函數僅僅是向下方移動了一點。由於在直接法中我們需要監視所有形狀可能發生的變化情況，水平集方法處理形狀曲線要比直接方法容易得多。

在二維情況下，水平集方法意味着將平面上的閉曲線

(正如示例中的形狀)表示為二維輔助函數

的零水平集

然後通過函數

隱式的處理曲線

這一函數便被叫做水平集函數。假設

在曲線

的內部取正值，在曲線

的外部取負值。 ^[1] 

如果零水平集以速度v沿着其法線運動，這一運動可以表示為水平集函數的哈密頓-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）：

這是一個偏微分方程，並且可以求得數值解，例如可以在笛卡爾網格上採用有限差分法。

然而，水平集方程的數值解需要複雜的技術。簡單的有限差分法會很快導致不收斂。迎風方法，諸如Godunov方法前進緩慢;然而在水平對流場中，水平集方法不保持水平集的體積和形狀的守恆。 ^[1] 

美國數學家Stanley Osher和James Sethian於20世紀80年代開發出了水平集方法。這一方法在許多學科廣泛使用，例如圖像處理，計算幾何，最優化和計算流體力學。

大量的有關水平集數據結構被開發出來，使得水平集方法在計算中的應用變得更加方便。 ^[2]