氣動聲學

在《氣動聲學》這篇論文中，他推導了後來以他名字所命名的方程，人們普遍把這項工作當作氣動聲學誕生的標誌。從此以後，作為一門獨立的學科分支，氣動聲學在理論和實踐上都有了進一步的發展和應用。由於最初萊特希爾方程的求解是在自由空間假設下得到的，對於固體邊界不起主要作用的情況下，如噴氣噪聲問題，其理論是基本適用的。然而，實驗表明在很多情況下，固體邊界的影響具有決定性的意義。1955年，柯爾（Curle）用基爾霍夫方法將萊特希爾理論考慮到靜止固體邊界的影響。結果表明，固體邊界的影響相當於在整個固體邊界上分佈偶極子源。柯爾理論成功解決了諸如湍流中靜止小物體的風鳴聲、圓柱漩渦脱落誘發的噪聲等問題。然而柯爾的理論並未涉及到運動固體邊界和流體相互作用的情況，而這對於風扇/壓氣機轉子、螺旋槳的噪聲預測有着及其重要的意義。為使問題簡化，1965年洛森（Lowson）研究了自由空間裏的一個運動奇點的聲場特性。後來，洛森的結果被直接用來建立直升機、壓氣機轉子/靜子干涉的噪聲模型。1969年，福茨.威廉姆（FfowcsWilliams）和霍金斯（Hawkings）應用廣義函數法將柯爾的結果擴展到考慮運動固體邊界對聲音的影響，得到一個較為普遍的結果——福茨.威廉姆-霍金斯方程（FW-H方程）。儘管FW-H方程顯示了重大的理論價值，但在很長一段時間內實際上並沒有得到廣泛的應用。這是因為運動邊界具有延遲時間的積分十分困難並且也不便於進行數值解，而作為它的遠場解，所得到的結果於過去相比並沒有優越性。後來法拉賽（Farassat）將FW-H方程的積分形式進行十分巧妙的變換，並提出了相應的求解方法。無論是柯爾方程或是FW-H方程均假設聲源傳播的介質是靜止的。這對於實際應用受到了一定的限制。1974年戈爾茨坦用格林函數方法研究了均勻運動介質下運動物體的發聲問題，他所得到的普遍結果被稱為廣義的萊特希爾方程。而柯爾方程或、FW-H方程以及一些其他重要結果均是該方程的特殊情形。

但是氣動噪聲發展到至今，依然存在着一些不可避免的問題。比如説從萊特希爾到戈爾茨坦在對於流體發聲問題求解時，都是從簡化的均勻介質的角度考慮，忽略了非均勻介質這種情況。另外氣動噪聲方程式求解相當複雜，很難得到解析解甚至數值解。但是由於計算機的高速發展，借鑑計算流體力學的方法，在氣動聲學的計算上已經出現了一些突破。

氣動聲學方程可以從流體力學的質量守恆和動量守恆方程推導出來。應用和式約定，在笛卡爾座標系下微分形式的質量守恆方程可以表示為

（2-2-1）

對應的動量守恆方程可以表示為

（2-2-2）

式中是流體中的黏性應力張量。

Lighthill針對在均勻靜止流體介質包圍的小尺度範圍內湍流產生的氣動噪聲問題，推導出了一個描述聲波產生的非齊次波動方程，其推導過程如下：

首先用乘以連續方程（2-2-1），並與動量方程相加，可得

（2-2-3）

取方程（2-2-3）的散度，得

（2-2-4）

對連續方程（2-2-1）取時間的導數，即

（2-2-5）

方程（2-2-4）與方程（2-2-5）相減，可以得到

（2-2-6）

為了獲得有關壓力的波動方程，在方程（2-2-6）兩邊各加，這樣就得

（2-2-7）

類似地，在方程（2-2-6）兩邊各加，這樣就得到關於密度的波動方程

（2-2-8）

方程（2-2-7）和（2-2-8）都是非奇次的波動方程。

在原創工作中，Lighthill應用方程（2-2-8），並且簡寫成如下形式：

（2-2-9）

式中，就是Lighthill應力張量，即

（2-2-10）

表示未受擾動流體的聲速，p是流體中的壓力，是空間固定座標系，在湍流流動區域外的平均流動速度為零。方程（2-2-9）就是著名的Lighthill方程，它是描述由方程右端的聲源分佈產生的聲傳播的控制方程。為了計算聲源產生的聲輻射，必須首先知道方程右端的聲源分佈。

在氣動噪聲中，主要有三個階次的噪聲源，即單極子，偶極子，四極子。圖2-1概要地列出了這些聲源的主要特徵。

1.單極子聲源單極子可以認為是一個脈動質量的點源。對於單極子聲源，聲場的振幅和相位在球表面上的每一個點都是相同的，在靜止流體中的單極子聲源的指向性是在各個方向均勻的。

根據單極子聲源的特點，立刻可以斷定爆炸就是單極子聲源。

2.偶極子聲源

偶極子可以看作是相互十分接近而相位相差180度的兩個單極子。偶極子聲場的特徵是，該聲場有一個最大值方向，而與該

圖2-1 基本聲源特徵比較

方向垂直的方向上，聲壓應該為零值。正像在聲源處流體的流出流動與流入流動的相位差那樣，偶極子聲場的每一個聲瓣相差180度。如果質量中心產生運動，則一個偶極子聲源就將產生。

3.四極子聲源

四極子可以看作是由兩個具有相反相位的偶極子形成的，因而也就是由四個單極子所組成。因為偶極子有一個軸，所以偶極子的組合可以是橫向的，也可以是縱向的。橫向四極子表示剪切應力，而縱向四極子則表示縱向應力。

4.實際聲源

任何實際聲源都可以看作是由適當的相位和幅值的諸單極子的一個分佈系統所組成的。正常情況下，不可能把這樣的問題公式化。採用稱為偶極子和四極子的這種單極的特殊組合，就允許把直覺知識用於特殊問題。