歸一條件

在量子力學裏，表達粒子的量子態的波函數必須滿足歸一條件（歸一化，英語：be normalized），也就是説，在空間內，找到粒子的概率必須等於1。這性質稱為歸一性。用數學公式表達，

其中，x是粒子的位置，

是波函數。

一般而言，波函數

是一個複函數。可是，

是一個實函數，大於或等於0，稱為“概率密度函數”。所以，在區域

內，找到粒子的概率

是

；(1)。

既然粒子存在於空間，概率是1。所以，積分於整個一維空間：

。(2)

假若，從解析薛定諤方程而得到的波函數

，其概率P是有限的，但不等於1，則可以將波函數

乘以一個常數，使概率P等於1。或者，假若波函數內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使概率P等於1。

給予一個歸一化的波函數。隨着時間的變化，波函數也會改變。假若，隨着時間改變的波函數不再滿足歸一條件，則勢必要重新將波函數歸一化。這樣，歸一常數A變得含時間。很幸運地，滿足薛定諤方程的波函數的歸一性是恆定的．設定波函數

滿足薛定諤方程與歸一條件：

假若，歸一性是恆定的，則概率P不含時間。為了顯示這一點，先計算

：

展開被積函數

編排薛定諤方程，可以得到波函數對於時間的偏導數：

共軛波函數對於時間的偏導數為

將

與

代入被積函數

代入

的方程:

可是，在

都等於 0 ．所以，

概率 P=1 不含時間。波函數的歸一化是恆定的。

在一維空間內，束縛於區域

內的一個粒子，其波函數是 ^[2] 

；

其中，k是波數，

是角頻率，A是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值A。將波函數代入：

積分於整個粒子存在的區域：

稍加運算，

歸一化的波函數是：