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模格
鎖定
模格(modular lattice)亦稱戴德金格，是格論中僅次於分配格的一類重要格，設L是格，對任意a，b，c∈L，若L滿足下列條件之一：L5：若a≤c，則a∨(b∧c)=(a∨b)∧c；L5′：(a∧b)∨(a∧c)=a∧(b∨(a∧c))；則稱L為模格，L5稱為模恆等式。分配格是模格。羣的正規子羣格、環的理想格都是模格。格L是模格當且僅當L不含五邊形格。科裏比亞(M.Kolibiar)於1956年用兩個恆等式(x∨(y∧y))∧y=y和((x∧y)∧z)∨(x∧t)=((t∧x)∨(z∧y))∧x刻畫了模格，模格中一個非常重要的定理是戴德金的轉置原理：若L是模格，a，b∈L，則φb：x→x∧b是[a，a∨b]到[a∧b，b]的同構，其逆同構為ψa：y→y∨a.從而在模格L中，若x，y∈[a∧b，b]⊆L，則a ∨(x∧y)=(a∨x)∧(a∨y)。
[1]
- 中文名
- 模格
- 外文名
- modular lattice
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 離散數學（組合序）
- 別 名
- 戴德金格
- 簡 介
- 格論中僅次於分配格的一類重要格
模格總體介紹
模格是一種組合構形，是滿足如下條件的格：對於格的任意元素x，y和z，若x≤z，則x∨(y∧z)=(x∨y)∧z。
因此，模格是把滿足分配律的要求僅侷限在可比較元素之間，從而模格可視為分配格的推廣，一個格是分配格，則必為模格。
圖1
在模格L上，映射φa把x映照為x∧a；映射ψb則把y映照為y∨b，這裏a和b均為L的固定的元素，於是φa和ψb為區間[b，a∨b]和[a∧b，a]之間互逆的同構映射，因而這兩個區間是同構的。模格的這一基本性質，亦可作為模格的另一等價定義。
在模格上，把形如I1=[a∧b，a]，I2=[b，a∨b]的區間稱為傳遞區間，若在兩區間[x，y]和[x′，y′]之間存在一組區間I1，I2，…，Ik，使得相鄰兩個區間都是傳遞區間，而且I1=[x，y]，Ik=[x′，y′]，則稱[x，y]和[x′，y′]中一個為另一個的投影區間。模格的投影區間均是同構的，這種結構上的均勻性是模格的主要特性。
模格也可由模元素來定義：格L為模格，當且僅當L的所有元素均為模元素，若L的元素a滿足：對於L的任意元素x，y，由x≤y得到x∧(a∨y)=(x∧a)∨y，則稱a為模元素，此外，格L上的一對元素a和b，若對於L的所有元素z它們滿足：若b≥z，則有b∧(a∨z)=(b∧a)∨z，此時稱a，b為模元素對，由定義知，在模元素對a和b之間是有序關係的，這就是説，當a和b為模元素對時，b和a不一定為模元素對，因此，一般把模元素對a和b記為二元序對(a，b)M，或aMb。模格亦可由模元素對刻畫：格L為模格，當且僅當L的每對元素均為模元素對，關於模元素對的序關係為對稱的格，即若a和b為模元素對，則b和a也為模元素對，相應的格稱為模對稱格
[1]
。
模格例題解析
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)=B∪(A∩C)。
例2 圖2給出了五個格
，不難驗證
和L4都是模格。但L5不是模格，這是因為由c≼d，可得d∧(c∨b)=d，c∨(d∧b)=c，但d≠c。我們稱L3為鑽石格，L5為五角格。
圖2（a）
圖2（b）
例2中的五角格是很重要的，可利用它來判斷一個格是不是模格。
定理 一個格S是模格，當且僅當S中不含有與五角格同構的子格。
該定理的證明比較複雜，在這裏略去，只要會利用即可。
圖3
