極限環分支理論

作者十多年來一直堅持極限環的專題研究，在Hopf分支、同宿分支等多個方面建立了很有特色的研究方法，既有一般理論和方法，又有對多項式系統等眾多應用。本書意在將作者及其合作者在極限環方面的研究成果進行系統總結，主要內容包括極限環的Hopf分支、同宿分支、異宿分支、含有冪零奇點的極限環分支、多項式系統極限環個數下界等。除了一些基本知識以外，本書大部分內容是介紹與作者相關的成果。本書是一本學術專著，其研究課題連續不斷地得到了國家自然科學基金的資助。作者在2002年曾出版《動力系統的週期解與分支理論》，其重點是高維繫統的週期解。本書是專門論述二維繫統的極限環分支。本書的創新點是深入研究了Melnikov函數的展開式，獲得了若干展開式係數的計算公式，並應用到一系列多項式系統，獲得極限環個數的新結果。本書內容前沿，自成一體。雖是專著，但又可以作為研究生教學用書，更可以作為同行科研用書。本書共有5章，第一章利用Poincar?e映射建立極限環的基本性質，如重數與穩定性在變換下的不變性及非雙曲極限環在擾動下幾類較簡單的分支現象。第二章的主題是Hopf分支.首先引入焦點附近的Poincar?e映射，焦點穩定性、階數及焦點量，之後給出研究焦點性質的三種方法，並給出這些方法之間的關係。特別深入研究了若干多項式系統的Hopf分支。利用Melnikov函數展開式的係數研究了初等中心在擾動下的退化Hopf分支問題。還引入了平面Zq等變系統等概念，並進行了分類研究。第三章給出近Hamiltonian系統的分支理論.首先引入了中心、閉軌以及同宿環的環性數概念，之後建立尋求這些環性數的一般方法，對含冪零奇點的Hamiltonian系統的擾動分支進行了深入研究，包括冪零中心的擾動分支、尖點環的擾動分支、含冪零鞍點的同宿環的擾動分支等，主要思路是研究Melnikov函數的展開式，並建立展開式中若干係數的計算公式。第四章專門研究同宿軌與兩點異宿環的擾動分支，與上一章不同的是，本章是通過同宿環改變穩定性來獲得極限環。為此，我們先要建立同宿環穩定性的判別量，然後較系統地研究同宿環、雙同宿環與兩點異宿環在擾動下產生極限環的個數問題。最後一章，即第五章，論述分支理論方法對平面一般多項式系統的一個有趣應用，基於某些3,4,5和6次多項式極限環的個數估計,獲得了6次以上任意多項式極限環最多個數的下界（這些結果都是目前最好的下界估計）。

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Preface

Chapter 1 Limit Cycle and Its Perturbations

Chapter 2 Focus Values and Hopf Bifurcation

Chapter 3 Perturbations of Hamiltonian Systems

Chapter 4 Stability of Homoclinic Loops and Limit Cycle Bifurcations

Chapter 5 The Number of Limit Cycles of Polynomial Systems

Bibliography

Index ^[2]