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格蘭迪級數
鎖定
格蘭迪級數(Grandi's series)，即1 − 1 + 1 − 1 + …，是在1703年由意大利數學家格蘭迪發表的，後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。
它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的“和”出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為1/2。
- 中文名
- 格蘭迪級數
- 外文名
- Grandi's series
- 表達式
- 1 − 1 + 1 − 1 + …
- 提出者
- 格蘭迪
- 提出時間
- 1703年
格蘭迪級數廣義
格蘭迪級數是一個沒有和的發散數列
可以先寫成Σ的形式：
∵當m=2k（k為整數）
原式=0
又∵當m=2k+1
原式=1
∴左右邊界均存在但不相等，且值在0，1之間擺動
∴為發散數列
格蘭迪級數特殊和
但是，在特殊情況，可以根據條件求出格蘭迪級數的和，如下：
針對以下的格蘭迪級數
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
一種求和方式是求它的裂項和：
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
但若調整括號的位置，會得到不同的結果：
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.
用不同的方式為格蘭迪級數加上括號進行求和，其級數和可以得到0或是1的值。
格蘭迪級數為發散幾何級數，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，可以得到第三個數值：
S = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此
1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S，即
2S = 1，
可得到S = 1/2。
依照上述的計算，可以得到以下的二種結論：
格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。
格蘭迪級數的和為1/2。
這個特殊和屬於解析延拓的範疇，在物理學中會運用
格蘭迪級數切薩羅求和
恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法，就是切薩羅和。基本概念類似萊布尼茨的概率法，一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個，計算前項的和的平均，當趨近無窮大時的極限值即為切薩羅和。
以格蘭迪級數而言，令
，則該數列的部分和
組成的數列為
