本原元定理

在數學中，本原元定理深刻刻畫了什麼時候對於一個域擴張

，E可以表示為

的形式，即E可以由單個元素生成。一個有限擴張

有本原元，即存在α使得

，當且僅當E和F之間只有有限箇中間域。 ^[1] 

如果F是有限域，由於E/F是有限擴張，推得E也是有限域。但是由於有限域的乘法羣是循環羣，任取這個乘法羣的一個生成元，E可以由這個生成元生成。所以在F是有限域的情況下，定理左右兩邊恆為真。 ^[2] 

如果F是無限域，但是隻有有限箇中間域。 先證明一個引理：假設E=F(α，β)並且E和F之間只有有限箇中間域，那麼存在一個γ∈E使得E=F(γ)。引理的證明如下：當c取遍F的時候，對於每一個c可以做一箇中間域F(α+cβ)。但是由假設，只有有限箇中間域，因此必定存在

∈F，

使得F(α+

β)=F(α+

β)。由於α+

β，α+

β都在這個域裏，推得(

-

)β也在這個域裏。由於

，推得β在這個域裏，於是α也在這個域裏，因此E=F(α，β)是F(α+

β)的子集，F(α+

β)是F(α，β)的子集，於是E=F(α+

β)。引理證畢。

由於有限擴張總是有限生成的，推得

（對於

）。利用歸納法以及引理可以得出，如果E/F之間只有有限箇中間域，那麼E可以由單個元素生成。

而如果E=F(α)，假設f(x)=irr(α，F，x)是α在F上的極小多項式，K是任意一箇中間域，g_K(x)=irr(α，K，x)是α在K上的極小多項式。顯然g_K(x)整除f(x)，由於域上的多項式環是唯一分解環，f(x)只有有限個因子。而對於每一個g_K(x)整除f(x)，如果g_K(x)寫作g_K(x)=

，並令K₀=F(

)。顯然K₀是K的一個子域，因此g_K(x)在K₀上依然是不可約的。而同時E=F(α)=K(α)=K₀(α)，因此可以得到[E：K]=[E：K₀]=

，這樣立即推K₀=K，於是任何一箇中間域K對應唯一的一個f(x)的因子g_K。於是中間域個數小於因子的個數。但因子個數是有限的，因此中間域個數有限。

證畢。

由於有限可分擴張只有有限箇中間域，由本原元定理立刻推出這個擴張有單個生成元。

模19下7的階為3（

,

,

,

....）
　　模n下a的階

，a就是n的本原元，如3是19的本原元，本原元並不唯一（19本原元還有2，3，10，13，14，15），不是所有的整數都有本原元，應是這樣的形式：2,3,

,

(p為奇素數) 。