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有理曲面
鎖定
有理曲面（rational surface），在代數幾何裏，是指一個雙有理等價於投影平面的曲面。
有理曲面定義
換句話説，即為一個二維有理簇。有理曲面是復曲面的十餘種恩裏克斯-小平分類中最簡單的一類，且是第一個被研究的曲面。
[1]
有理曲面結構
每個非奇異曲面均可透過重複拉開最小有理曲面而取得。最小有理曲面可為投影平面，或希策布魯赫平面Σr，其中r= 0 或r≥ 2。
不變量：有理曲面的正則虧格均為0，其基本羣均是平凡的。
霍奇鑽石：
1 | ||||
0 | 0 | |||
0 | 1+n | 0 | ||
0 | 0 | |||
1 |
其中，n等於 0 時為投影平面，等於 1 時為希策布魯赫曲面，大於 1 時則為其他有理曲面。
除了希策布魯赫曲面Σ2m為偶麼模格II1,1之外，皮卡羣均為奇麼模格 I1,n。
有理曲面定理
卡斯特爾諾沃定理
吉多·卡斯特爾諾沃證明，任一復曲面，若使得 q 及P2（不規則點及第二正則虧格）均消失，則該曲面為有理曲面。該定理被用於恩裏克斯-小平分類中，以識別有理曲面。扎里斯基於1958年證明，卡斯特爾諾沃定理在特徵為正的體上亦成立。
[2]
卡斯特爾諾沃定理也意指任一單有理復曲面都是有理曲面，因為若一復曲面為單有理曲面，則其不規則點與正則虧格會小於有理曲面的不規則點與正則虧格，因此均為 0，所以該曲面為有理曲面。大多數三維以上的單有理復簇都不是有理曲面。在特徵 p > 0 時，扎里斯基於1958年發現，不是有理曲面，但為單有理曲面（扎里斯基曲面）之例子。
曾有一段時間不知道 q 及P1均消失的復曲面是否均為有理曲面，直到費德瑞格·恩裏克斯找到一個反例（稱為恩裏克斯曲面）為止。
有理曲面例子
- 博爾迪加曲面：投影平面於P之6次嵌入。
- 沙德烈曲面。
- 科布爾曲面。
- 立方曲面：非奇異立方曲面同構於6個點拉開的投影平面，且為法諾曲面。有名的例子包括費馬立方、凱萊立方曲面及克萊布希對角曲面。
- 法諾曲面。
- Enneper曲面。
- 希策布魯赫曲面Σn
- 兩個投影線的積P×P為希策布魯赫曲面 Σ0。該曲面是唯一具有兩種不同直紋之曲面。
- 投影平面。
- 塞格雷曲面：兩個二次曲面的相交，同構於5個點拉開的投影平面。
- 羅馬曲面：在P內，具奇異點，且雙有理等價於投影平面之曲面。
- White surfaces, a generalization of Bordiga surfaces.
- 白曲面，博爾迪加曲面的廣義化。
- 維羅納曲面：投影平面於P之嵌入。
- 參考資料
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- 1. Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius, Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 4, Springer-Verlag, Berlin, 2004
- 2. Zariski, Oscar, On Castelnuovo's criterion of rationality pa = P2 = 0 of an algebraic surface, Illinois Journal of Mathematics, 1958, 2: 303–315
