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方差計算公式

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方差的概念與計算公式，例如 兩人的5次測驗成績如下：X： 50，100，100，60，50，平均值E(X)=72；Y：73， 70，75，72，70 平均值E(Y)=72。平均成績相同，但X 不穩定，對平均值的偏離大。方差描述隨機變量對於數學期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記為E(X)：直接計算公式分離散型和連續型。推導另一種計算公式得到：“方差等於各個數據與其算術平均數的離差平方和的平均數”。其中，分別為離散型和連續型計算公式 [1]  。 稱為標準差或均方差，方差描述波動程度。
中文名
方差
外文名
variance
實    質
隨機變量對於數學期望的偏離程度
記    法
D(X)
計    算
平方的均值減去均值的平方
性質1
設C為常數，則D(C) = 0
性質2
D(CX)=C^2D(X)

目錄

  1. 1 方差的定義
  2. 2 離散型方差的一般形式
  1. 3 性質
  2. 4 切比雪夫不等式
  1. 5 其他相關

方差計算公式方差的定義

方差：一組數據中各個數據與這組數據的平均數的差的平方的平均數
設一組數據
,
,
……
中的平均數為
，則該組數據方差的計算公式為
,也可記為
。為了簡便可寫為
（其中
為該組數據的平均值）。
方差反映的是一組數據偏離平均值的情況，是反映一組數據的整體波動大小的特徵的量方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小。 [5] 

方差計算公式離散型方差的一般形式

已知離散型方差分佈列：
X
x1
x2
...
xn
...
P
p1
p2
...
pn
...
DX公式刻畫了隨機變量X與其期望值EX的平均偏差程度，稱DX為隨機變量X的方差。
為X的標準差(Standard Deviation)或均方差，記為σX。

方差計算公式性質

方差的性質
1．設C為常數，則D(C) = 0（常數無波動）；
2．
（常數平方提取）； [2] 
證：
特別地 D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)（方差無負值）
3．若X 、Y 相互獨立，則證：記則
前面兩項恰為 D(X)和D(Y)，第三項展開後為
當X、Y 相互獨立時，
故第三項為零。
特別地
獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。
平均數：
（n表示這組數據個數，x1、x2、x3……xn表示這組數據具體數值）
方差公式：
標準方差公式(1)：
標準方差公式(2)：
其中,
[4] 

方差計算公式切比雪夫不等式

設隨機變量X具有數學期望
，方差
，則對於任意正數
，不等式
成立。這一不等式稱為切比雪夫（Chebyshev）不等式 [2]  。

方差計算公式其他相關

常用分佈的方差
1．兩點分佈
2．二項分佈 X ~ B ( n, p )
引入隨機變量Xi （第i次試驗中A 出現的次數，服從兩點分佈）
3．泊松分佈（推導略）
4．均勻分佈 另一計算過程為
5．指數分佈（推導略）
6．正態分佈（推導略）
7.t分佈：其中X~T（n），E（X）=0；
8.F分佈：其中X~F（m,n）,
正態分佈的後一參數反映它與均值的偏離程度，即波動程度（隨機波動），這與圖形的特徵是相符的 [3]  。
參考資料
  • 1.    曹才翰.中國中學教學百科全書:數學卷[M].瀋陽:瀋陽出版社
  • 2.    中公教育研究生考試研究院編著. 中公考研 考研數學 概率論與數理統計專項輔導[M]. 2017
  • 3.    王橋. 方差的幾個計算公式[J]. 中學生數理化(八年級數學)(配合人教社教材), 2014(5).
  • 4.    劉衞國主編. MATLAB基礎教程. 北京：北京郵電大學出版社, 2016.03：146.
  • 5.    呂建剛主編. MBA、MPA、MPAcc管理類聯考 數學名家精講 2015[M]. 2014：41