方差公式

若x₁,x₂,x₃......x_n的平均數為M，則方差公式可表示為：

例1 兩人的5次測驗成績如下：

X： 50，100，100，60，50 ，平均成績為E(X )=72；

Y： 73， 70， 75，72，70 ，平均成績為E(Y )=72。

平均成績相同，但X不穩定，對平均值的偏離大。方差描述隨機變量對於數學期望的偏離程度。

單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記為D(X )：

直接計算公式分離散型和連續型，具體為：這裏是一個數。推導另一種計算公式得到：“方差等於平方的均值減去均值的平方”。

其中，分別為離散型和連續型的計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動程度。

1．設C為常數，則D(C) = 0（常數無波動）；

2． D(CX )=C²D(X ) （常數平方提取，C為常數，X為隨機變量）；

證：特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差無負值）

3．若X 、Y 相互獨立，則證：記則前面兩項恰為 D(X)和D(Y)，第三項展開後為當X、Y 相互獨立時，故第三項為零。特別地，獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。 ^[2] 

方差公式：

平均數：

（n表示這組數據個數，x₁、x₂、x₃……x_n表示這組數據具體數值）

方差公式：

1．兩點分佈

2．二項分佈

X ~ B ( n, p )

引入隨機變量 Xi （第i次試驗中A 出現的次數，服從兩點分佈）

3．泊松分佈（推導略）

4．均勻分佈

5．指數分佈（推導略）

6．正態分佈（推導略）

7.t分佈 :其中X~T（n），E（X）=0；

；

8.F分佈：其中X~F（m,n）,

;

正態分佈的後一參數反映它與均值 的偏離程度，即波動程度（隨機波動），這與圖形的特徵是相符的。

設一組數據x₁,x₂,x₃……x_n中，各組數據與它們的平均數

的差的平方分別是(x₁-

)²，(x₂-

） ²……(x_n-

)²，那麼用他們的平均數來衡量這組數據的波動大小，並把它叫做這組數據

的方差 ^[3]  。