數學物理方程與特殊函數

本書主要介紹了三類基本二階線性偏微分方程--波動方程、熱傳導方程和位勢方程的各種求解方法以及特殊函數的基礎知識。全書分8章，分別是： 一些典型方程和定解條件的推導、偏微分方程的基本概念和分類、特徵線法、分離變量法、特殊函數、積分變換法、Green函數法、偏微分方程數值解初步。

本書比較全面地介紹了偏微分方程基本解理論，求解波動方程的特徵線法，作為特殊函數理論基礎的Sturm-Liouville理論， 三種類型邊值問題Green函數的求法；特別介紹了用Riemann映射定理求Green函數的方法。本書例題豐富，習題選取少而精；講解推理自然，深入淺出。

本書可作為理科非數學專業和工程科學各專業本科的教材或教學參考書。

第1章 一些典型方程和定解條件的推導

1.1 三類典型方程的推導1

1.2 定解條件和定解問題5

1.3 定解問題的適定性8

習題19

第2章 偏微分方程的基本概念和分類10

2.1 偏微分方程的基本概念10

2.2 二階線性偏微分方程的分類11

2.3 疊加原理和齊次化原理17

習題221

第3章 特徵線法23

3.1 一階線性偏微分方程的特徵線法23

3.2 一維波動方程的初值問題26

3.3 高維波動方程的初值問題30

習題335

第4章 分離變量法37

4.1 弦振動方程的混合問題37

4.2 有限杆的熱傳導問題42

4.3 Sturm-Liouville問題44

4.4 非齊次方程、非齊次邊界條件定解問題的分離變量法55

4.5 高維、高階方程定解問題的分離變量法62

習題464

第5章 特殊函數67

5.1 Bessel函數(柱函數)的定義67

5.2 柱Bessel函數的其他類型71

5.3 Bessel函數的性質74

5.4 Bessel函數的應用舉例81

5.5 Legendre函數的定義91

5.6 Legendre函數的性質96

5.7 Legendre函數的應用舉例101

5.8 高維分離變量法小結108

習題5111

第6章 積分變換法115

6.1 Fourier變換的性質和應用115

6.2 Laplace變換的性質和應用119

6.3?* Hankel變換的性質和應用124

習題6126

第7章 Green函數法128

7.1 ?δ?函數128

7.2 線性偏微分方程的基本解132

7.3 Green函數與邊值問題134

7.4 Green函數的求法139

習題7148

第8章 偏微分方程數值解初步150

8.1 差分方程和差分格式150

8.2?* 變分法與有限元方法簡介156

習題8157

習題答案158

附錄A Γ函數的基本知識167

附錄B 常用變換表171

索引180

參考文獻182 ^[1]