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效應平方和
鎖定
- 中文名
- 效應平方和
- 外文名
- Between-Group Sum of Squares
- 所屬學科
- 數學(統計學)
- 別 名
- 組間離差平方和,組間平方和
- 相關概念
- 方差分析,總偏差平方和等
效應平方和基本介紹
效應平方和總偏差平方和
記在水平Ai下樣本和為
,其樣本均值為
因素A下的所有水平的樣本總均值為
效應平方和誤差平方和與效應平方和
如果H0成立,則r個總體間無顯著差異,也就是説因素A對指標沒有顯著影響,所有的Xij可以認為來自同一個總體
,各個Xij間的差異只是由隨機因素引起的,若H0不成立,則在總偏差中,除隨機因素引起的差異外,還包括由因素A的不同水平的作用而產生的差異,如果不同水平作用產生的差異比隨機因素引起的差異大得多,就認為因素A對指標有顯著影響,否則,認為無顯著影響。為此,可將總偏差中的這兩種差異分開,然後進行比較。
記
定理1(平方和分解定理)令
,有
效應平方和統計特性
如果H0成立,則所有的Xij都服從正態分佈
,且相互獨立,則有:
定理2
(1)
,且
,所以
為σ2的無偏估計;
(2)
,且
,因此
為σ2的無偏估計;
(3)SE與SA相互獨立;
(4)
。
效應平方和單因素方差分析
效應平方和基本概念
在方差分析中,我們將要考察的對象的某種特徵稱為試驗指標,影響試驗指標的條件稱為因素,因素可分為兩類,一類是人們可以控制的(如原材料、設備、學歷、專業等因素);另一類人們無法摔制的(如員工素質與機遇等因素)。下面所討論的因素都是指可控制因素。每個因素又有若干個狀態可供選擇,因素可供選擇的每個狀態稱為該因素的水平。如果在一項試驗中只有一個因素在改變,則稱為單因素試驗;如果多於一個因素在改變,則稱為多因素試驗。因素常用大寫字母A,B,C,…來表示,因素A的水平用
來表示,下面對單因素試驗進行討論。
效應平方和假設前提
設單因素A具有r個水平,分別記為
,在每個水平
下,要考察的指標可以看成一個總體,故有r個總體,並假設:
(1)每個總體均服從正態分佈,即
;
(2)每個總體的方差σ2相同;
(3)從每個總體中抽取的樣本
相互獨立,i=1,2,…,r。
水平 | ||||
樣本 | ||||
樣本和 | ||||
樣本均值 | ||||
總體 | ||||
總體均值 |
那麼,要比較各個總體的均值是否一致,就是要檢驗各個總體的均值是否相等,設第i個總體的均值為μi,則
假設檢驗為
;
備擇假設為
不全相等。
在水平
下,進行
次獨立試驗,得到試驗數據
,記數據的總個數為
。
由假設有
(
未知),即有
,故
可視為隨機誤差。記
,從而得到如下數學模型:
方差分析的任務:
(1)檢驗該模型中r個總體
的均值是否相等;
(2)作為未知參數
的估計。
為了更仔細地描述數據,常在方差分析中引入總平均和效應的概念,將
各均值的加權平均值
記為μ,即
而前述檢驗假設則等價於
這是因為當且僅當
時,
,即
。