複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/拉普拉斯定理/965377
複製
複製成功

拉普拉斯定理

鎖定
拉普拉斯定理（Laplace theorem），亦稱行列式按k行展開定理，是計算降階行列式的一種方法。該定理斷言：在n階行列式D=|aij| 中，任意取定k行（列），1≤k≤n-1，由這k行（列）的元素所構成的一切k階子式與其代數餘子式的乘積的和等於行列式D的值。 [1] 
拉普拉斯定理於1773年由拉普拉斯從範德孟規則推廣提出，於1812年由柯西（Cauchy，A.-L.）首先證明。 [1] 
拉普拉斯定理在計算某些特殊類型的行列式時發揮着重要作用，為計算零元素個數較多的行列式、證明分塊矩陣的乘法定理、證明證明行列式的相乘規則提供了理論基礎。 [4-5] 
中文名
拉普拉斯定理
外文名
Laplace theorem
別    名
行列式按k行展開定理
拉普拉斯展開定理
表達式
D=M1A1+M2A2+…+MtAt
提出者
拉普拉斯
提出時間
1773年
適用領域
數學（高等代數）
概    念
降階計算行列式的一種方法
理論成熟時間
1812年

目錄

  1. 1 定理定義
  2. 2 驗證推導
  3. 3 定理推廣
  4. 4 發展簡史
  5. 5 定理意義

拉普拉斯定理定理定義

拉普拉斯定理及其證明 拉普拉斯定理及其證明
在
階行列式
中，任意取定
行（列），
，由這
行（列）的元素所構成的一切
階子式與其代數餘子式的乘積的和等於行列式
的值。 [1] 

拉普拉斯定理驗證推導

設
中取定
行後得到的子式為
，它們的代數餘子式分別為
，
定理要求證明
。
按行列式的定義完全展開，
有
項，而
乘開有
項，又
和
無公共項，
所以
式右邊
有
項，
即
展開後的項數與
的項數相同。
下面只要證明
的任意一項也是
的一項，定理即得證。
任取
中的一項，
其中
為取子式的
行的
個行號，且
；
為其餘的
個行號，且
。
由定理
有：
於是
可以寫成
，其中
恰好是取第
行第
列所構成的
級子式
中的一項，
恰好是
的餘子式
中的一項，從而
就是
中的一項，定理得證。 [7] 

拉普拉斯定理定理推廣

  • 行列式展開定理
拉普拉斯定理的特殊情況是行列式展開定理。
定理內容
階行列式
等於行列式的任意一行（列）元素與其對應的代數餘子式之積的和。 [2] 
推導過程
只需對
，即行列式的第一行進行證明，也就是證明
。
根據行列式的定義，
拉普拉斯定理的特殊情況：行列式展開定理 拉普拉斯定理的特殊情況：行列式展開定理
其中的一般項
所以
。
其他各行各列同理可證。 [6] 

拉普拉斯定理發展簡史

拉普拉斯 拉普拉斯
1772年，範德孟制定了用二階子式展開行列式的規則——範德孟規則。
1773年，拉普拉斯證明了範德孟規則，並將範德孟規則推廣為拉普拉斯定理。 [3] 
1812年，法國數學家柯西首次證明拉普拉斯定理。 [1] 

拉普拉斯定理定理意義

拉普拉斯定理在計算某些特殊類型的行列式時發揮着重要作用，為計算零元素個數較多的行列式、證明分塊矩陣的乘法定理、證明行列式的相乘規則提供了理論基礎。 [4-5] 
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海（第一卷）．北京：中國科學技術出版社，2002：426-426
  • 2.    馮依虎,楊星星．拉普拉斯定理在行列式計算中的應用：忻州師範學院學報，2021：14-16
  • 3.    胡作玄．近代數學史．濟南：山東教育出版社，2006：387-387
  • 4.    丘維聲．高等代數：高等教育出版社，2015：52-52
  • 5.    朱亞茹,牛澤釗．談拉普拉斯定理及其應用：科技信息，2009：97-97
  • 6.    周仲旺．行列式按行（列）展開定理的簡單證法：高等數學研究，2023：93-93
  • 7.    周金貴,石定琴．拉普拉斯展開定理的一個新的證明：九江學院學報，2010：54-55