拉普拉斯分佈

設隨機變量

具有密度函數

其中

為常數，且

，則稱

服從參數為

的拉普拉斯分佈。

易見，

,且

，

（令

） =

.

可見

確定了一個密度函數，

此外

.

如圖1給出了拉普拉斯分佈的密度曲線（

）。 ^[1] 

. (1)

則稱X服從參數為

（位置參數）和

（尺度參數）的拉普拉斯（Laplace）分佈，記作

.

1.拉普拉斯分佈的密度函數如式（1）關於

對稱，且在該點達到極大值

，即是它的眾數。

越小曲線越陡，

越大麴線越平坦。它有兩個拐點

。

2.設

，則它的分佈函數為

.

3.設

，則

.

4..設

，則它的r階中心矩為

當r為奇數是其值為0，為偶數時其值為

。

5.設

，則

.

6.設

，則它的矩母函數和特徵函數為

,

. ^[2] 

在近代統計中，穩健性佔有重要的地位，例如在古典迴歸分析中，用偏差平方和的大小作標準，來選擇迴歸係數使它達到極小，這種迴歸不具有穩健性，然而，如改為用偏差的絕對值和作為標準，卻具有穩健性.。於是研究隨機變量絕對值的分佈是很有意義的. 設

，可以證明

，其中

這是一個很有意思的結果。若X與Y獨立同分佈於

，則

，上述兩個事實表明，若在迴歸分析中假定服從拉普拉斯分佈，並用絕對偏差和作為標準，可以導出很多良好的性質。

拉普拉斯分佈與正態分佈有一定的聯繫。 設 X , Y , Z ,W 獨立同分佈於N（0，1），則

拉普拉斯分佈和哥西分佈之間有着非常有趣的聯繫。C (0,1) 的分佈密度和特徵函數 分別為

而

的分佈密度和持徵函數分別是

我們看到，C(0,1)的分佈密度與

的特徵函數有相同的形式 (僅差一個常數) ，而C (0,1)的特徵函數與

的分佈密度也有相同的性質(僅差一個常數) 。

設

是總體

的樣本，欲通過它們來估計

和

，將

重排得

,若n為奇數，用

作為

的估計；若n為偶數，則可用

至

之間的任何一個數來作為

的估計，通常用

而

的估計是：

若

已知，則

若

未知，則