偏差平方和

在單因素實驗中，為了使造成各隨機變量

之間的差異的大小能定量表示出來，引入：

記在水平

下樣本和為

，其樣本均值為

因素A下的所有水平的樣本總均值為

為了通過分析對比產生樣本

之間差異性的原因，從而確定因素A的影響是否顯著，我們引人偏差平方和來度量各個體間的差異程度

因

能反映全部試驗數據之間的差異，所以又稱為總偏差平方和 ^[2]  。

如果

成立，則r個總體間無顯著差異，也就是説因素A對指標沒有顯著影響，所有的

可以認為來自同一個總體

，各個

間的差異只是由隨機因素引起的，若

不成立，則在總偏差中，除隨機因素引起的差異外，還包括由因素A的不同水平的作用而產生的差異，如果不同水平作用產生的差異比隨機因素引起的差異大得多，就認為因素A對指標有顯著影響，否則，認為無顯著影響。為此，可將總偏差中的這兩種差異分開，然後進行比較。

記

則有下面的定理：

定理1(平方和分解定理) 令

，有

表示在水平

下樣本值與樣本均值之間的差異，它是由隨機誤差引起的，稱為誤差平方和或組內平方和。

反映在每個水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因素A取不同水平引起的，稱為因素A的效應平方和或組間平方和，

式就是我們所需要的平方和分解式 ^[2]  。

如果

成立，則所有的

都服從正態分佈

，且相互獨立，則有：

(1)

，且

，所以

為

的無偏估計；

(2)

，且

，因此

為

的無偏估計；

(3)

與

相互獨立；

(4)

。