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弓高
鎖定
如圖,在弧AB與弦AB組成的弓形(實線部分)中,M為弧AB的中點,過點M作MH⊥AB交AB於點H,則垂線段MH為弓形AB的高,即弓形AB的弓高。
- 中文名
- 弓高
- 外文名
- arch's height
- 領 域
- 數學
弓高定義
弓高性質
一、唯一性:弓形只有一條唯一確定的弓高。
證明:根據弓高的定義,因為弧有唯一確定的中點,且過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直,故從弧的中點引弦的垂線段也是唯一確定的。
二、弓高是組成弓形的弧上所有點到弦的垂線段中最長的。
證明:設弓形AB,弧AB上一動點P,及弦∠APB為定值α,△ABP的面積為S,底邊AB上的高為PH。
∴
,其中
α和AB長為定值,即
。
由弦長定理(弦長積定理)得,當PA=PB時,
達到最大值,即當P為弧AB的中點時,PH達到最大值。
根據弓高的定義可知,此時PH即為弓高。故原命題得證。
三、弓高所在的直線經過弓形所在的圓的圓心。
∵M是弧AB的中點,
∴弧AM=弧BM,
∴AM=BM,
∵MH⊥AB,
∴AH=BH,
由垂徑定理的逆定理可得:
直線MH經過弓形AB所在圓的圓心。
四、優弧弓的弓高大於弓形所在圓的半徑,劣弧弓的弓高小於弓形所在圓的半徑,半圓弓的弓高等於弓形所在圓的半徑。
弓高長度計算公式
【公式一】在弓形中,設弓形所在圓的半徑為
,組成弓形的弦長為
,組成弓形的弦的弦心距為
,
則有:
,且弓高
(當弓形為優弧弓時)或
(當弓形為劣弧弓時)。
當然,若弓形為半圓弓,直接可得
延長MH,由弓高的性質三可得MH過圓心O,連結OA。
由垂徑定理得
,
由勾股定理得:
由弓高的性質四可以得到高
(當弓形為優弧弓時)或
(當弓形為劣弧弓時)。
【公式二】若已知弓形的弧所對圓心角為θ,則:
再根據情況運用公式
計算即可。
(或已知弧所對圓周角也可直接用圓周角的餘弦值和正切值計算)
弓高應用
可用與實際問題當中。
一、在排水管中,已知排水管的規格,可以將排水管中的水擬作弓形,利用水深、水位線長(即弓形的弦長)等計算一些數據(如弓高、水流量、流速),以更好地進行運水輸水排水等的管理。
二、有些橋樑或大門的形狀為拱形,且為其中特殊的一種——弓形。此時可以根據弓形的性質和弓高的計算方法測量計算橋樑、大門等的一些數據。