廣羣

每個態射都可逆的範疇為廣羣。 ^[8] 

在數學中，特別是在範疇論和同倫論中，一個廣羣（較不常見的是勃蘭特廣羣或虛擬廣羣）以幾種等效的方式推廣了廣羣的概念。廣羣是對羣的概念的抽象化。可以看作是：

具有替代二進制的部分功能的組；每個度都是可逆的範疇。 這種範疇可以被看作是增加一個一元的操作，通過類比與組理論相反。注意，只有一個對象物體的廣羣是普通組。

特殊情況包括：

集羣，即：具有等價關係的集合；

G集，配備G組集。

廣羣通常用於推理幾何對象，如多面體。 海因裏希·布蘭特（Heinrich Brandt，1927）通過勃蘭特半羣隱含地介紹了廣羣。 ^[1-3] 

廣羣是由非空集合G和在G上定義的二進制部分函數“

”組成的代數結構（G，

）。

廣羣是一個集合G，具有一元操作

和部分函數

。 這裏

不是一個二進制的操作，因為它不一定被定義為所有可能的G元素對。 在這裏定義的精確條件在這裏沒有闡述，並因情況而異。

和^-1具有以下公理屬性。 讓a，b和c是G的元素。然後：

（1）關聯性：如果定義了a

b和b

c，則（a

b）

c和a

（b

c）也被定義。 相反，如果這兩個最後兩個表達式中的任何一個被定義，那麼另一個表達式也是如此。

（2）反向：a^-1

a和a

a^-1始終被定義。

（3）如果定義了

b，則a

b

b^-1 = a和a^-1

a

b = b。 （前兩個公理已經表明這些表達式是定義和明確的。） ^[4] 

從這些公理，兩個簡單方便的屬性如下：

（a^-1）^-1 = a;

如果a

b被定義，則（a

b）^-1 = b^-1

a^-1。

廣羣是一個小范疇，其中每個態射是同構的，即可逆的。更準確地説，一個廣羣G是：

（1）一組G0的對象；

（2）對於G0中的每個對象x和y，從x到y存在一個（可能是空的）集合G（x，y）的態射（或箭頭）。 我們寫f：x→y表示f是G（x，y）的元素。

（3）對於每個對象x，G（x，x）的指定元id_x。

（4）對於對象x，y和z的每個三元組，函數

：

。

（5）對於每對物體x，ya函數

：

滿足，對於任何f：x→y，g：y→z和h：z→w：

和

和

如果f是G（x，y）的元素，則x被稱為f的源，寫入s（f），y被稱為f（寫入t（f））的目標。

代數和範疇論定義是相同的。 給定範疇論中的羣體，令G是所有集合G（x，y）（即從x到y的態射集合）的不相交併集。

然後comp和inv在G上成為部分定義的操作，inv實際上將被定義在任何地方; 所以我們定義

為comp和^-1為inv。 因此，我們有一個代數意義上的羣體。 可以刪除對G₀的明確引用。

相反，給定代數意義上的羣G，令G₀是x

x^-1形式的所有元素的集合，其中x通過G變化並定義

作為所有元素的集合f這樣

存在。考慮

和

他們的複合體被定義為

看到這是很明確的，因為

和

存在，也是如此

x

x^-1上的身份態射就是x

x^-1本身，f的類別理論反向是f^-1。上面定義中的集合可以被類替換，類別理論通常是這樣。 ^[5] 

給定一個羣體G，G中的頂點組或各向同性組或對象組是G（x，x）形式的子集，其中x是G的任何對象。從上面的公理可以很容易地看出，這些確實是組， 因為每對元素都是可組合的，並且反轉在同一個頂點組中。

給定一個字段K，相應的一般線性組GL _*（K）由任何大小的所有可逆矩陣組成，其條目範圍超過K.矩陣乘法解釋組合。 如果G = GL _*（K），則自然數集合是G₀的子集，因為對於每個自然數n，存在維度n的相應單位矩陣。 除非m = n，否則G（m，n）為空，在這種情況下，它是所有nxn可逆矩陣的集合。

給定拓撲空間X，令G₀為集合X.從點p到點q的態射是從p到q的連續路徑的等價類，如果它們是同位素，則兩條路徑是等效的。 兩個這樣的態射是由第一個路徑組成的，然後是第二個路徑；同倫對等性保證這個組合是相關的。 這個羣體稱為X的基本羣體，表示為

。 通常的基本組

則是點x的頂點組。

這個想法的一個重要的拓撲是考慮基本的廣羣

，其中A是一組“基點”和X的子集。 只考慮其端點屬於A的路徑。

是

子類。 集合A可以根據幾何形狀的情況來選擇。 ^[6] 

如果X是由

表示的等價關係的集合，則可以形成“表示”等價關係的組類型如下：

（1）羣體的對象是X的元素；

（2）對於X中的任何兩個元素x和y，當且僅當x〜y時，存在從x到y的單個態射。

在研究幾何物體時，出現的羣體通常帶有一些可微分的結構，將它們變成李羣。 這些可以用李代數來研究，類似於李羣和李代數之間的關係。 ^[7]