常微分方程簡明教程

全書共分8章，前6章屬於基礎原理部分，內容包括基本概念、一階微分方程、初值定解的適定性、高階線性微分方程、微分方程的級數解、常微分方程組，這部分是本教程的主體，若用於教學，一般需要60個學時。後兩章主要講述現代常微分方程中兩個主幹分支——常微分算子和動力系統理論的基本概念和背景，簡略介紹它們的部分內容和新發展。本教程選材得當，論述簡潔明澈，主幹脈絡清晰，語言平易流暢，並且緊密聯繫物理與應用背景，不僅在理論上表現出鮮明的科學性和先進性，而且具有很好的可讀性。全書配有精選的練習題（附答案）。

本書可作為數學、物理類專業本科生教材，及其他理工類相關專業本科生或研究 ^[1]  生教材，對於廣大從事工程學或自然科學的讀者，本書也不失為一本很好的參考書或自學入門教材。

本書內容分為兩大部分。第一部分（前6章）講述常微分方程基礎理論的原理和方法，這部分的主體內容大致在傳統教材的內容框架之內，這樣使得本教程與現行的教學有一個較好的銜接，然而在講授的觀點、重心與風格上，卻與現行教材有一定迥異。第二部分（第7、8章）講述現代常微分方程理論的兩大主幹分支——微分動力系統和常微分算子的基本概念和背景，簡略介紹它們的若干內容和新發展，以使讀者能一窺常微分方程現代理論的大略。

第1章　基本概念

1.1 　微分方程及其解

1.2 　微分方程的物理背景——動力機制的數學模型

1.3 　微分方程的定解問題

練習題1

第2章　一階微分方程

2.1 　顯方程的初等求解法

練習題2.1

2.2 　隱方程的參數解法

2.3 　方程的近似解析解

2.4 　正交方向場和正交軌線

練習題2.2

第3章　一階微分方程Cauchy問題的適定性

3.1 　Peano定理

3.2 　Cauchy-Picard定理

3.3 　解的延拓　飽和解

3.4 　初值與參數的偏差所引起的解的偏差

3.5 　奇解——通解族的包絡

練習題3

第4章　高階線性微分方程

4.1 　線性齊次微分方程

4.2 　Liouville（劉維爾）公式

4.3 　非齊次線性微分方程　常數變易法

4.4 　常係數線性齊次微分方程式

4.5 　常係數非齊次線性方程　待定係數法

4.6 　RLC交流電路

4.7 　Euler方程

4.8 　二階微分方程的降階法

練習題4

第5章　微分方程的級數解

5.1 　一階微分方程的解析解　優級數

5.2 　常點鄰域二階線性方程的解　Legendre多項式

5.3 　正則奇點鄰域二階線性方程的解

5.4 　Bessel方程和柱函數

練習題5

第6章　常微分方程組

6.1 　二維動力系統模型二則

6.2 　常微分方程組的基本概念

6.3 　線性微分方程組

6.4 　常係數線性微分方程組

6.5 　矩陣函數etA及其計算

練習題6

*第7章　常微分方程特徵值問題

7.1 　經典Sturm-Liouville問題及其緣起

7.2 　本徵值的實值性和本徵函數的正交性

7.3 　Sturm零點定理與特徵值的存在性

7.4 　按特徵函數系的展開式

*第8章　動力系統簡介

8.1 　引言

8.2 　李雅普諾夫穩定性

8.3 　平面自治系統的極限環

8.4 　混沌簡介

練習題答案

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