希爾伯特邊值問題

希爾伯特邊值問題是尋求區域內的解析函數使得它在區域邊界上滿足某些邊界條件的問題。也有人將希爾伯特邊值問題稱為黎曼-希爾伯特邊值問題。

設L是某區域G的邊界曲線，L的正向取成使G在其正（左）側。求 G 中的解析函數Φ(z)，使其在 L上的邊值Φ⁺(t)滿足條件

其中γ(t)為已知函數，f(t)為已知實函數，此問題稱為希爾伯特邊值問題。 ^[1] 

區域上處處可微分的複函數。17世紀，L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學時已發現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函數Φ(x，y)與流函數Ψ(x，y)有連續的偏導數，且滿足微分方程組，並指出f(z)=Φ(x，y)+iΨ(x，y)是可微函數，這一命題的逆命題也成立。

柯西把區域上處處可微的複函數稱為單演函數，後人又把它們稱為全純函數、解析函數。B.黎曼從這一定義出發對複函數的微分作了深入的研究，後來，就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。