對稱張量

如果一個p次反變張量在自然同構

下所對應p線性型是對稱的，則稱此張量為對稱張量。

對於共變張量，如果它在自然同構下

所對應的p線性型是對稱的，則稱此張量為對稱張量。

也可以如下直接定義，為簡單起見，假設域K的特徵不為2，以

表示p次對稱羣。對於任意的

，

上將

對應於

的線性變換是唯一確定的，且是正則的，仍以σ表示。同樣地，也可以唯一確定

的正則線性變換σ。張量

是對稱張量當且僅當對於任意

，恆有

。如果α的分量是

，那麼α是對稱的充分必要條件是它的分量關於指標

的置換是對稱的。 ^[1] 

(p,0)型張量空間

或(0,p)型張量空間

的線性變換

稱為對稱化子，這裏

表示p次對稱羣。任意張量α在

下的像是對稱張量。

的對稱張量構成的子空間是關於張量表示

的不變子空間。

設S_k(𝖌)為𝖌上(0,k)型對稱張量的集，S(𝖌):=⨁^∞_k=0S_k(𝖌)。設 T∈S_k(𝖌)，若對 g∈G，v_i∈𝖌，T(Ad_gv₁,...,Ad_gv_k)=T(v₁,...,v_k)，則T稱為不變對稱張量。S_G為不變對稱張量組成的子代數。

設T∈S_k(𝖌𝖑(n))，ξ=π:E→M為n階向量叢。若T為不變對稱張量，則誘導出End_k(ξ)*上的平行截面。 ^[2]