對偶系統

考慮線性時變系統：

其中，

為n維狀態向量，

為p維輸人向量，

為q維輸出向量。

、

、

和

分別為

和

時變矩陣。

定義1 對於線性時變系統(1)，根據系統矩陣構造如下形式的時變系統：

其中，

為n維狀態向量，

為q維輸入向量。

為p維輸出向量。稱系統(2)為系統(1)的對偶系統。 ^[2] 

下面介紹原線性系統與其對偶系統之間具有的屬性。

對偶系統的結構圖如概述圖所示。從概述圖中可看出，互為對偶的系統在結構上，如信號流向、狀態、輸入和輸出的作用點、求和點位置等呈現對偶屬性。如果稱結構圖左部的量為“輸入量”，結構圖右部的量為“輸出量”，則圖1(a)表示用“輸入量”控制“輸出量”，是一個控制問題；圖1(b)表示用“輸出量”求得“輸入量”，是一個估計問題。因此，對偶性原理揭示了最優控制和最優估計之間的內在聯繫。 ^[2] 

若原系統(1)為線性系統，則其對偶系統(2)也為線性系統；若原系統(1)為時變(或定常)系統，則其對偶系統(2)也為時變(或定常)系統。 ^[2] 

原線性系統(1)的狀態轉移矩陣為

，其對偶系統(2)的狀態轉移矩陣為

，則由狀態轉移矩陣的性質可知，兩者之間存在如下的關係：

若原線性系統(1)的運動是狀態點在狀態空間中，由

至

正時向轉移，則其對偶系統(2)的運動是狀態點在狀態空間中，由

至

反時向轉移。 ^[2] 

若記原線性系統與其對偶系統分別為

和

，則原線性系統

與其對偶系統

的參數矩陣之間具有如下對應關係：

系統矩陣=一

系統矩陣的轉置，

輸入矩陣=

輸出矩陣的轉置，

輸出矩陣=

輸入矩陣的轉置。 ^[2] 

若系統

和系統

互為對偶，且系統

的傳遞函數矩陣為

，系統

的傳遞函數矩陣為

，則有

也就是説，互為對偶的系統其傳遞函數陣是互為轉置的。

由於

所以還可以看出，互為對偶的系統其特徵方程是相同的。 ^[3]