實變函數

本書是編者在長期從事應用數學、信息安全等專業的“實變函數”課程教學實踐基礎上結合科研體會編寫而成的.全書共7章：第1章“從Riemann積分開始”主要是回顧數學分析中介紹過的Riemann積分,以便在第6章學習Lebesgue積分時做對比,同時可使讀者對測度和積分理論的來源、背景有基本的瞭解； 第2、3章是預備知識,分別介紹集合論的一些知識和歐氏空間中點集的基本知識與連續函數的性質; 第4~6章是本書的核心部分, 分別介紹 Lebesgue測度、Lebesgue可測函數、Lebesgue積分理論；第7章介紹微分與積分. ^[1] 

全書表述簡潔通俗,論證嚴謹,概念有解釋,定理有説明, 主要結論後均有例題,適合初學者使用,既可作為高等學校數學、應用數學、信息安全等專業高年級本科生或研究生的教材,也可供相關領域的科研人員參考. ^[1] 

第1章 從Riemann積分開始 1

1.1 回顧Riemann積分 1

1.2 從容量、測度到Lebesgue積分 7

第2章 集合與基數 12

2.1 集合及其運算 12

2.2 集合的基數 17

2.3 可數集與不可數集 19

2.4 基數的比較 26

第3章 歐氏空間中的拓撲與連續函數 30

3.1 Rn中的距離 30

3.2 開集和閉集 34

3.3 Borel集和Cantor集 41

3.4 連續函數 45

第4章 Lebesgue測度 51

4.1 Lebesgue外測度 52

4.2 Lebesgue可測集 56

4.3 Lebesgue可測集與Borel集 65

第5章 Lebesgue可測函數 70

5.1 Lebesgue可測函數 71

5.2 可測函數列的收斂性 77

5.3 Lebesgue可測函數和連續函數的關係 88

第6章 Lebesgue積分 92

6.1 非負可測函數的Lebesgue積分 92

6.2 可測函數的Lebesgue積分 98

6.3 Lebesgue積分的極限定理 104

6.4 回到Riemann積分 115

6.5 重積分與累次積分 122

6.6 Lorentz空間 128

第7章 微分與積分 137

7.1 單調函數的可微性 138

7.2 不定積分的導數 149

7.3 絕對連續函數與微積分基本定理 153

7.4 積分的變量替換 160

索引 164

參考文獻 167 ^[1]