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實二次型
鎖定
實二次型(real quadratic form)是一類重要的二次型,指實數域上的二次型,任意實二次型f(x1,x2,…,xn)都可以通過實滿秩線性代換化為形如y²1+…+y²p-y²p+1-…-y²r的標準形。這種標準形稱為實二次型f的規範型或正規型,其中r是f的秩,正平方項個數p稱為f的正慣性指數,負平方項個數q=r-p稱為f的負慣性指數,s=p-q稱為f的符號差,實二次型的正、負慣性指數是惟一確定的,此稱為實二次型的慣性定律,亦稱慣性定理。此定理由西爾維斯特(J.J.Sylvester)給出,故亦稱西爾維斯特定理。但他認為不證自明。雅可比(C.G.J.Jacobi)也獨立發現並證明了這個定理。兩個n元實二次型等價的充分必要條件是:它們有相同的秩,且有相同的正慣性指數(或有相同的秩與符號差)
[1]
。
- 中文名
- 實二次型
- 外文名
- real quadratic form
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 高等代數(二次型)
- 簡 介
- 實數域上的二次型
實二次型定義
(1) n元實二次型指的是含有n個變量
的實係數二次齊次多項式
其中
(2) 只有平方項
而沒有交叉項
,i≠j的二次型稱為n元標準二次型
(3)如果對於n階方陣A和B,存在n階可逆矩陣P使B=P'AP,則稱A與B合同,記為
。矩陣之間的合同關係有反身性、對稱性和傳遞性。
(4)所有平方項的係數為±1或0的標準二次型稱為規範二次型
實二次型基本結論
(1)對於任何變量值
,二次型f(
)=x'Ax的值恆為0
A=O。
n階方陣A和B相似指的是存在n階可逆矩陣P使得B = P-1AP,記為A~B。
n階方陣A和B合同指的是存在n階可逆矩陣P使得B=P'AP,記為
。
兩個相似的矩陣一定是等價的,兩個合同的矩陣也一定是等價的。但是,反之並不成立,即等價的矩陣未必相似,也未必合同,矩陣相似與矩陣合同是兩個不同的概念,只有當B = P-1AP中的P是正交矩陣時,才同時有B =P'AP,所以,兩個矩陣正交相似與正交合同是一回事。
(3)對於任意一個n元實二次型f=x'Ax ,必存在正交變換x =Py,這裏P是n階正交矩陣,把它化為標準形:
f(
)=x'Ax= (Py)'A(Py)=y'P'APy=y'Λy=
其中,λ1,... , λn就是對稱矩陣A的n個特徵值。
(4)對於任意一個n元實二次型f=x'Ax ,必存在可逆線性變換x=Qy,這裏Q是n階可逆矩陣,把它化為標準形
f(
)=x'Ax= (Qy)'A(Qy)=y'Q'AQy=y'Λy=
其中,
未必是對稱矩陣A的特徵值。
(5)慣性定理 對於任意一個n元實二次型f=x'Ax,必存在可逆線性變換x=Rz,這裏R是n階可逆矩陣,把它化為規範形
f(
)=x'Ax=
其中k和r是由A唯一確定的(與所採用的變換的選擇無關)。
慣性定理的矩陣形式。對於任意一個n階對稱矩陣A,一定存在n階可逆矩陣R使得