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密度矩陣

密度矩陣是量子統計物理中的一個概念。當一個量子力學系統處於純態時，系統的狀態由波函數或態矢量描述；當系統處於混態時，系統的狀態由密度矩陣描述。密度矩陣既是對波函數的推廣，也是對經典概率分佈的推廣。孤立系統的密度矩陣滿足幺正演化方程，開放系統的密度矩陣演化滿足量子主方程。

中文名: 密度矩陣
外文名: density matrix

學科背景: 量子力學、量子統計物理
簡介: 描述處於混態的量子系統

密度矩陣引入

當一個量子系統所處的態矢量 |ψ> 不確定時，稱該系統處於一個混態。設系統有 p_n 的概率處於歸一化的可能態 |ψ_n>，n = 1, 2, 3, ... 於是對於任意的力學量A，其測量值的期望，即系綜平均 <A> 滿足

其中 Tr 表示對算符求跡。於是引入密度矩陣：

則發現力學量 A 的系綜平均 <A> = Tr (Aρ) 由密度矩陣 ρ 整體確定，而不依賴 ρ 具體由哪些可能態 |ψ_n> 以多少概率 p_n 混合而成。由於力學量 A 的任意性，若兩個量子系統的可能態 |ψ_n> 的分佈列不同，但密度矩陣 ρ 相同，則二者在量子統計意義下是不可分辨的。因此分佈列的描述具有冗餘性，而密度矩陣 ρ 則恰好描述了系統的全部可測量信息。

密度矩陣性質

密度矩陣 ρ 是一個厄米算符，滿足歸一化 Tr ρ = 1 和半正定性。純態可看作密度矩陣 ρ 的秩等於 1 的特例，經典概率分佈可看作 ρ 為對角矩陣的特例。密度矩陣 ρ 的非對角元體現了系統在不同態之間的相干性。

疊加態與混合態

設兩個可能態 |ψ₁> 和 |ψ₂> 正交歸一。設一個系統 A 處於二者的疊加態 |ψ⁺> = (|ψ₁>+|ψ₂>)/√2，而另一個系統 B 處於 |ψ₁> 和 |ψ₂> 的等概率混合態。系統 A、B 的密度矩陣不同：

用自旋-1/2 的例子比較容易理解 A 和 B 的區別。設 |ψ₁> 和|ψ₂> 分別為 z 方向自旋向上、向下態。對 A 系統測量 x 方向自旋一定得到結果是向上。而對 B 系統測量 x 方向自旋則等可能得到向上、向下的結果。疊加態是純態，而混合態不是。系統 B 的態 ρ_B 也可以看作是 |ψ⁺> 和 |ψ^-> = (|ψ₁>-|ψ₂>)/√2 等 1/2 概率混合而成，或者 |ψ₁>、|ψ₂>、|ψ⁺>、|ψ^-> 四個態等 1/4 概率混合而成的。所有這些製備過程得到的態 ρ_B 都等價。

密度矩陣的熵和純度

為了直觀地反映密度矩陣 ρ 所描寫的混態較為接近純態還是遠離純態，定義 S = -Tr (ρ ln ρ) 為系統所處態的熵，表示系統缺少信息的程度。純態的熵 S = 0（混態 S > 0）。

類似地，定義 P = Tr (ρ²) 為系統所處態的純度。純態的純度 P = 1（混態 0 < P < 1）。將 1-P 也可以看作一種熵，不過它不是香農熵（或玻爾茲曼熵），而是 Renyi 熵。

用密度矩陣的熵的概念對糾纏態可以定義糾纏熵，反映兩個系統 A 和 B 之間的量子糾纏程度。

糾纏態與密度矩陣

設一個大系統由 A、B 兩部分組成，整個系統所處量子態為純態

稱 A、B 兩個子系統處於糾纏態。糾纏態是直積態的疊加態，表示兩個系統相互關聯，但單獨來看各自卻沒有確定的狀態。用部分跡（partial trace）可以定義 A 和 B 的約化密度矩陣如下：

單獨看 A、B 都處於混態，而整體 A+B 卻處於純態。單獨看 A、B 無法確定整體 A+B 處於 |Ψ⁺> 還是|Ψ^->，因為兩個直積態的相位差的信息在求部分跡的過程中丟失了。量子力學打破了經典物理所認為的部分與整體的關係。整體不等於部分之和。知道整體 A+B 的純態而確定不了 A、B 部分的純態，知道 A、B 部分的混態又確定不了二者之間的糾纏關係。