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完全剩餘系
鎖定
從模n的每個剩餘類中各取一個數,得到一個由n個數組成的集合,叫做模n的一個完全剩餘系。完全剩餘系常用於數論中存在性證明。
- 中文名
- 完全剩餘系
- 外文名
- complete system of residues
- 適用範圍
- 數理科學
- 類 型
- 定義概念
完全剩餘系定義
在模n的剩餘類中各取一個元素,則這n個數就構成了模n的一個完全剩餘系。
完全剩餘系同餘式
[congruence]
命 n 為一個自然數,a,b為整數。如果
為 n 的整數倍,則稱 a,b 關於 n 同餘,用同餘式
(mod n) 記之。否則稱a,b關於 n 不同餘,記為
(mod n)。我們稱 n 為同餘式的模(modulus)。同餘式滿足:
反射性(reflection),即
(mod n);
完全剩餘系舉例
取最小非負剩餘為代表,則得完全剩餘系
。剩餘類的代表相加得一數屬於另一類,這個類僅與相加兩數所在的類有關,而與代表的選取無關。於是,可以定義剩餘類間的加法,以 0 所在的類 O 為單位元,則剩餘類的全體關於加法構成一個交換羣。當然在剩餘類之間可以定義乘法。但關於除法就不一定可能,例如 3·2
1·2(mod 4),2
2(mod 4),但
(mod 4)。
一個數除以4的餘數只能是0,1,2,3,{0,1,2,3}和{4,5,-2,11}是模4的完全剩餘系。可以看出0和4,1和5,2和-2,3和11模4同餘,這4組數分別屬於4個剩餘類。
完全剩餘系性質
完全剩餘系常用性質:
完全剩餘系性質一
對於n個整數,其構成模n的完系等價於其關於模n兩兩不同餘;
完全剩餘系性質二
若ai(1≦i≦n)構成模n的完系,k、m∊Z,(m,n)=1,則
也構成模n的完系;
完全剩餘系性質三
若ai(1≦i≦n)構成模n的完系,則
。