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奇排列
鎖定
- 中文名
- 奇排列
- 外文名
- odd permutation
- 概 述
- 逆序數為奇數的排列
- 相關概念
- 逆序,逆序數
- 常用性質
- 對換改變排列的奇偶性
- 應用領域
- 線性代數
奇排列定義
奇排列n級排列
例如,2431是一個四級排列,45321是一個五級排列。
注:n級排列的總數是
奇排列逆序數
例如2431中,21,43,41,31是逆序,2431的逆序數就是4;而45321的逆序數是9.
注:排列
的逆序數記為
奇排列奇排列
例如,2431是偶排列,45321是奇排列,
的逆序數是零,因而是偶排列。
注:1)考慮由任意n個不同的自然數所組成的排列,一般地也稱為n級排列。對這樣一般的n級排列,同樣可以定義上面這些概念。
奇排列性質
證明:先看一個特殊的情形,即對換的兩個數在排列中是相鄰的情形。排列(1)
再看一般的情形。設排列為(記為(3))
不難看出,這樣一個對換可以通過一系列的相鄰數的對換來實現。從(3)出發,把k 與 is對換,再與is-1 對換
,也就是説,把k 一位一位的向左移動。經過s+1次相鄰位置的對換,排列(3)就變成排列(記為(5))
證明:假設在全部n級排列中共有s個奇排列,t個偶排列。將s個奇排列中的前兩個數字對換,得到s個不同的偶排列。因此s≤t. 同樣可證t≤s,於是s=t,即奇、偶排列的總數相等,各有
個。
注:定理2保證了n階行列式的展開式的n! 項中正負項各半。
[2]
證明:我們對排列的級數n作數學歸納法,來證任意一個n級排列都可以經過一系列對換變成
.
1級排列只有一個,結論顯然成立。
假設結論對n-1級排列已經成立,證對n級排列的情形結論也成立。
設
是一個n級排列,如果
,那麼根據歸納法假設,n-1級排列
可以經過一系列變換變成
,於是這一系列對換也就把
變成
. 如果
,那麼對
作jn,n對換,它就變成
,這就歸結成上面的情形,因此結論普遍成立。
相仿地,
也可用一系列對換變成
,因為
是偶排列,所以根據定理1,所做對換的個數與排列
有相同的奇偶性。
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