大維統計分析

《應用統計學叢書:大維統計分析》系統介紹了傳統多元統計分析的一般理論和方法，同時也探討了當前十分熱門的大維數據分析問題。《應用統計學叢書:大維統計分析》的主要創新之處在於將大維隨機矩陣譜分析理論引進大維數據分析中，即在樣本量和數據維數成比例增長的前提下，探討基於全新理念的解決辦法，或應用隨機矩陣譜分析理論對太多數傳統多元統計分析方法給以修正，使之兼顧高維、低維數據的不同情形，從而避免經典多元統計分析方法在處理大維數據時出現嚴重估計偏差甚至檢驗完全失效的怪異現象。 ^[1] 

記號與約定

第一章 引論

1.1多元統計分析

1.2多元正態分佈

1.3大維統計分析

1.4大維隨機矩陣的譜分析

第二章 多元正態分佈

2.1引論

2.2多元正態分佈的定義

2.2.1標準p元正態分佈

2.2.2一般p元正態分佈的定義

2.2.3多元正態分佈的特徵函數、矩母函數和密度

2.2.4二元正態分佈的密度公式

2.2.5多元正態分佈的相關係數和相關係數矩陣

2.3多元正態分佈的性質

2.3.1多元正態分佈族在線性變換下的性質

2.3.2多元正態分佈密度的等高線

2.3.3正態隨機變量線性組合的分佈、獨立性及邊緣分佈

2.4條件分佈和多重相關係數

2.4.1條件分佈

2.4.2多重相關係數

2.4.3偏相關的一些公式

2.5多元正態分佈的二次型及其獨立性

2.5.1二次型的矩和矩母函數

2.5.2線性型、二次型相互獨立的充要條件

2.6復多元正態分佈的定義及基本性質

2.6.1複數運算的補充代數知識

2.6.2復多元正態分佈的定義和性質

2.6,3極大似然估計

2.7練習題

第三章 均值向量與協方差矩陣的估計

3.1引論

3.2均值向量和協方差矩陣的極大似然估計

3.3協方差矩陣已知時，樣本均值向量的分佈及統計推斷

3.3.1分佈理論

3.3.2協方差矩陣已知時，關於均值向量的檢驗和置信域

3.3.3非中心化x2分佈與功效函數

3.4均值向量估計的性質

3.4.1極大似然估計的性質

3.4.2 Bayes與minmax估計

3.5均值向量的改進估計

3.5.1引論

3.5.2 James-Stein估計量

3.5.3協方差矩陣已知時任意二次損失函數下的估計

3.6練習題

第四章 樣本相關係數的分佈與應用

4.1引論

4.2二元樣本相關係數

4.2.1總體相關係數為零時樣本相關係數的分佈及不相關的假設檢驗

4.2.2總體相關係數非零時樣本相關係數的分佈，假設檢驗和置信區間

4.2.3樣本相關係數與Fisher z的漸近分佈

4.3偏相關係數，條件分佈

4.3.1偏相關係數的估計

4.3.2樣本偏相關係數的分佈

4.3.3偏相關係數的假設檢驗和置信區間

4.4多重相關係數

4.4.1多重相關係數的估計

4.4.2總體多重相關係數為零時樣本多重相關係數的分佈

4.4.3總體多重相關係數非零時樣本多重相關係數的分佈

4.4.4多重相關檢驗的某些最優性

4.5多重相關係數的大維表現

4.5.1大維情形下樣本多重相關係數的極限

4.5.2大維情形下多重相關係數的中心極限定理

4.5.3大維情形下關於多重相關係數的假設檢驗與置信區間

4.6練習題

第五章 T2統計量

5.1引論

5.2 T2統計量的推導及其分佈

5.2.1 T2統計量作為似然比準則函數的推導

5.2.2 T2統計量的分佈

5.3 T2統計量的應用

5.3.1檢驗單總體均值向量等於某個給定的向量

5.3.2均值向量的置信域

5.3.3均值向量的所有線性組合的一致置信區間

5.3.4兩樣本問題

5.3.5多個樣本的問題

5.3.6關於對稱性的一個問題

5.3.7改進的均值向量估計

5.4 T2在備擇假設下的分佈及勢函數

5.5協方差矩陣不等時的兩樣本問題

5.6 T2檢驗的一些最優性質

5.6.1最優不變檢驗

5.6.2可容許檢驗

5.7大維情形下的均值檢驗問題

5.7.1 Dempster的非精確檢驗

5.7.2白- Saranadasa的漸近正態檢驗

5.7.3陳-秦改進的檢驗

5.7.4模擬結果和評論

5.8練習題

第六章 判別分析

6.1判別問題

6.2判別的準則

6.2.1初步考慮

6.2.2兩個總體的情形

6.3概率分佈已知的兩個總體的判別方法

6.3.1先驗分佈已知的情形

6.3.2先驗概率未知的情形

6.4兩個已知多元正態分佈的判別

6.5參數未知時兩個正態總體的判別

6.5.1判別準則

6.5.2判別準則的分佈

6.5.3判別準則的漸近分佈

6.5.4判別準則的另外一種推導

6.5.5似然比準則

6.5.6不變性

6.6錯判概率

6.6.1準則W的錯判概率的漸近展開

6.6.2準則Z的錯判概率的漸近展開

6.7多個總體的判別

6.8多個多元正態分佈的判別

6.8.1基本理論

6.8.2一個例子

6.9兩個已知的具有不同協方差矩陣的多元正態總體的判別

6.9.1似然方法

6.9.2線性方法

6.10大維判別分析

6.10.1 A-準則與D-準則

6.10.2兩個正態總體時D-準則的錯判概率

6.10.3兩個正態總體時A-準則的錯判概率

6.10.4 A-準則與D-準則的比較與評論

6.11練習題

第七章 樣本協方差矩陣的分佈與廣義方差

7.1引論

7.2 Wishart分佈

7.3 Wishart分佈的性質

7.3.1 Wishart分佈的特徵函數

7.3.2 Wishart矩陣的和

7.3.3 Wishart矩陣的線性變換

7.3.4 Wishart分佈的邊緣分佈

7.3.5 條件分佈

7.4 Cochran定理

7.5廣義方差

7.5.1廣義方差的定義

7.5.2樣本廣義方差的分佈

7.5.3樣本廣義方差的漸近分佈

7.6當總體協方差矩陣是對角矩陣時全體相關係數的分佈

7.7逆Wishart分佈和協方差矩陣的Bayes估計

7.7.1逆Wishart分佈

7.7.2協方差矩陣的Bayes估計

7.8協方差矩陣的改良估計

7.9非中心化Wishart分佈

7.10大維架構下樣本廣義方差的性質與統計推斷

7.10.1大維架構下樣本廣義方差的極限與中心極限定理

7.10.2大維架構下關於廣義方差的假設檢驗和區間估計

7.11練習題

……

第八章 一般線性假設的檢驗及方差分析

第九章 分組變量的獨立性檢驗

第十章 均值和方差齊性的檢驗

第十一章 主成分分析

第十二章 典則相關係數與典則變量

第十三章 特徵根與特徵向量的分佈

第十四章 因子分析

附錄A 矩陣知識

附錄B 大維隨機矩陣譜分析知識

參考文獻

術語索引

人名索引