大數律

大數定律(law of large numbers)，是一種描述當試驗次數很大時所呈現的概率性質的定律。但是注意到，大數定律並不是經驗規律，而是在一些附加條件上經嚴格證明了的定理，它是一種自然規律因而通常不叫定理而是大數“定律”。而我們説的大數定理通常是經數學家證明並以數學家名字命名的大數定理，如伯努利大數定理 ^[1]  。

大數定律是指在隨機試驗中，每次出現的結果不同，但是大量重複試驗出現的結果的平均值卻幾乎總是接近於某個確定的值。其原因是，在大量的觀察試驗中，個別的、偶然的因素影響而產生的差異將會相互抵消，從而使現象的必然規律性顯示出來。例如，觀察個別或少數家庭的嬰兒出生情況，發現有的生男，有的生女，沒有一定的規律性，但是通過大量的觀察就會發現，男嬰和女嬰佔嬰兒總數的比重均會趨於50%。

弱大數律和強大數律之分。

（1）弱大數律：設隨機序列

獨立同分布，並且

有限，則有：

通常把類似於該結論的稱為弱大數律。

（2）強大數律：設隨機序列

獨立同分布，並且

，則有：

把類似於該結論的成為強大數律。

大數定律有若干個表現形式。這裏介紹高等數學概率論要求的常用的三個重要定律。

設

，....是一列相互獨立的隨機變量(或者兩兩不相關)，他們分別存在期望

和方差

。若存在常數C使得：

，則對任意小的正數 ε，滿足公式一：

將該公式應用於抽樣調查，就會有如下結論：隨着樣本容量n的增加，樣本平均數將接近於總體平均數。從而為統計推斷中依據樣本平均數估計總體平均數提供了理論依據。

特別需要注意的是，切比雪夫大數定理並未要求

同分布，相較於後面介紹的伯努利大數定律和辛欽大數定律更具一般性。

設μ是n次獨立試驗中事件A發生的次數，且事件A在每次試驗中發生的概率為P，則對任意正數ε，有公式二：

該定律是切比雪夫大數定律的特例，其含義是，當n足夠大時，事件A出現的頻率將幾乎接近於其發生的概率，即頻率的穩定性。在抽樣調查中，用樣本成數去估計總體成數，其理論依據即在於此。

辛欽大數定律是一種常用的大數定律。設

為獨立同分布的隨機變量序列，若

的數學期望存在，則服從大數定律，即對任意的ε>0，有公式三 ^[2]  ：

例如，在重複投擲一枚硬幣的隨機試驗中，觀測投擲了n次硬幣中出現正面的次數。不同的n次試驗，出現正面的頻率（出現正面次數與n之比）可能不同，但當試驗的次數n越來越大時，出現正面的頻率將大體上逐漸接近於1/2。又如稱量某一物體的重量，假如衡器不存在系統偏差，由於衡器的精度等各種因素的影響，對同一物體重複稱量多次，可能得到多個不同的重量數值，但它們的算術平均值一般來説將隨稱量次數的增加而逐漸接近於物體的真實重量。

幾乎處處收斂與依概率收斂不同。生活例子：開始上課了，慢慢地大家都安靜下來，這是幾乎處處收斂。絕大多數同學都安靜下來，但每一個人都在不同的時間不安靜，這是依概率收斂 ^[2]  。

還有大數定律在保險業應用也十分廣泛。大數定律又稱大數法則。人們在長期的實踐中發現，在隨機現象的大量重複中往往出現幾乎必然的規律，即大數法則。此法則的意義是：風險單位數量愈多，實際損失的結果會愈接近從無限單位數量得出的預期損失可能的結果。據此，保險人就可以比較精確的預測危險，合理的釐定保險費率，使在保險期限內收取的保險費和損失賠償及其它費用開支相平衡。大數法則是近代保險業賴以建立的數理基礎。保險公司正是利用在個別情形下存在的不確定性將在大數中消失的這種規則性，來分析承保標的發生損失的相對穩定性。按照大數法則，保險公司承保的每類標的數目必須足夠大，否則，缺少一定的數量基礎，就不能產生所需要的數量規律。但是，任何一家保險公司都有它的侷限性，即承保的具有同一風險性質的單位是有限的，這就需要通過再保險來擴大風險單位及風險分散面 ^[1]  。