圖象變換

常見的函數的圖象變換有四種基本形式：平移變換、對稱變換、伸縮變換和翻折變換。

將函數y=f(x)的圖象沿x軸方向平移 |m|個單位，得到函數y=f(x+m)(m≠0)的圖象， 當m>0時，向左平移；當m<0時，向右平移。

將函數y=f(x)的圖象沿y軸方向平移|n|個單位，得到函數y=f(x)+n(n≠0)的圖象。當n>0時，向上平移；當n<0時，向下平移。

（1）作函數y=f(x)的圖象關於x軸的對稱圖象，得到函數y=－f(x)的圖象。

（2）作函數y=f(x)的圖象關於y軸的對稱圖象，得到函數y=f(－x)的圖象。

（3）作函數y=f(x)的圖象關於原點的對稱圖象，得到函數y=－f(－x)的圖象。

（4）作函數y=f(x)的圖象關於直線y=x的對稱圖象，得到函數y=f^-1(x)的圖象。

（5）作函數y=f(x)的圖象關於直線x=a的對稱圖象，得到函數y=f (2a－x)的圖象。

如圖一。函數y=e^x的圖象,通過（1）～（4）的變換，分別得到y=－e^x，y=e^（-x），y=－e^(-x)，y=lnx的圖象。

（1）上下翻折變換

將函數y=f(x)在x軸上方的圖象保留，下方的圖象翻折到上方去，得到函數y=|f(x)|的圖象。

（2）左右翻折變換

將函數y=f(x)在y軸右側的圖象保留，再作其關於y軸的對稱圖象，並去掉y軸左側的原圖象，得到函數y=f(|x|)的圖象。如圖二。函數y=1/e^x的圖象變換得y=1/e^|x|的圖象。

正弦型函數y=Asin(ωx+φ)，當A≠0, ω≠0, x∈R時的曲線，可以由正弦曲線y=sinx，通過以下一系列圖象變換而得到：

（1）橫向平移變換

將函數y=sinx的圖象沿x軸向左（當φ≥0時）,向右（當φ<0時）平移|φ|個單位，得到函數y= sin(x+φ)的圖象。

（2）再將函數y= sin(x+φ)的圖象上所有點的橫座標伸長（當|ω|<1時），縮短（當|ω|>1時）到原來的1/|ω|倍，縱座標不變，得到函數y=sin(ωx+φ)的圖象。

（3）再將函數y= sin(ωx+φ)的圖象上所有點的縱座標伸長（當|A|>1時），縮短（當|A|<1時）到原來的|A|倍，橫座標不變，得到正弦型函數y=Asin(ωx+φ)的圖象。

如圖三。由正弦曲線y=sinx，通過上述變換，得正弦型曲線y=3sin(2x+π/3) ^[1]  。

正弦型函數y=Asin(ωx+φ)，當A>0, ω>0,x≥0時，它刻劃的是物理的簡諧運動的位移與時間，交流電的電流與時間的函數關係。

這時，上述變換又可依次稱為（1）相位變換、（2）週期變換、（3）振幅變換。

值得注意的是，若先作週期變換，再作相位變換，則平移量不是|φ|，而是|φ/ω|.

為簡便起見，我們把變換前的圖象叫舊圖象，變換後的圖象叫新圖象。

上述變換，除翻折變換的第（2）項左右翻折變換外，其他的變換，新圖象和舊圖象上的點存在一一對應關係。這是我們解決新舊圖象關係的最基本最關鍵的出發點。也是解決其對應的新舊解析式的最基本最關鍵的出發點。

函數的圖象變換，是從“形”的角度使函數發生變化。新舊圖象表示兩個函數。與之對應的兩個函數的解析式也從“式”的角度發生了變化。

在上述圖象變換中，平移變換和對稱變換能保持圖形上任何兩點之間的距離不變。可以看成“保距”變換。

但是，翻折變換和伸縮變換不具有這一性質 ^[2]  。

每種形式的函數的圖象變換都有它自己的變換意義，按照它的變換意義將一個函數y=f(x)的圖象以變成另一個函數y=h(x)的圖象，這是它的正向意義。而根據“相反意義”實施逆變換，將函數y=h(x)的圖象變成函數y=f(x)的圖象，這是它的逆向意義。函數的圖象變換具有雙向意義 ^[3]  。

函數圖象變換的本質，是用圖象的形式表示的函數，由一個函數變化到另一個函數。即新舊圖象是兩個函數。

2．圖象變換體現的數學思想

函數圖象變換的過程體現了由簡單到複雜，特殊到一般的化歸思想。

3．圖象變換的基本元素

函數圖象變換的基本元素是自變量“x”。解答有關圖象變換的問題時，“確保x的係數是1”是避免出現錯誤的重要策略 ^[3]  。

[1]中學數學教師手冊

[2]高中課程標準實驗教科書數學

[3]高中數學教師教學用書

[4]高中數學函數

[5]高等數學手冊