簡諧運動

物體受力大小與位移成正比，而方向相反，人們把具有這種特徵的振動稱為簡諧運動。 ^[1] 

簡諧運動方程：

^[1] 

根據該運動方程式，我們可以説位移是時間t的正弦或餘弦函數的運動是簡諧運動。 ^[1]  簡諧運動的數學模型是一個線性常係數常微分方程，這樣的振動系統稱為線性系統。線性系統是振動系統最簡單最普遍的數學模型。但一般情況下，線性系統只是振動系統在小振幅條件下的近似模型。

振幅反應了振動的強度，它是由初始條件決定的。上述運動方程中A即為該振動的振幅。 ^[1] 

物體經過一次全振動所經歷的時間叫作振動的週期，用T表示。與週期密切相關的是頻率，即單位時間內物體所作的完全振動次數叫作頻率，用f表示。 ^[1] 

2π秒內所作的完全振動次數叫作圓頻率（角頻率），即上述運動方程中的ω。它與週期T和頻率f之間的關係為

、

。 ^[1] 

簡諧運動的圓頻率是由系統的力學性質所決定的，故又稱為固有圓頻率。例如彈簧振子的圓頻率公式如下，其中，k和m分別表示彈簧振子的剛度和質量，對於給定的彈簧振子，圓頻率僅與自身的剛度和質量有關，是由本身的性質所決定的。 ^[1] 

我們把確定物體任意時刻運動狀態的物理量稱為相位（或位相），用φ表示，表達式如下所示，其中

是t=0時的相位，又稱為初相位。 ^[1] 

簡諧運動是一種變速與變加速運動。其速度與加速度可以由簡諧運動方程（位移-時間方程）通過微分得到。於是，在假設通解

情況下，可得 ^[1] 

速度：

加速度：

簡諧運動的振動動能和振動勢能分別為

簡諧運動的總機械能

該式子表明，簡諧運動的總能量與振幅的平方成正比，而簡諧運動是等幅振動，因此簡諧運動的總機械能必然守恆。 ^[1] 

設兩個同方向同頻率的簡諧運動方程分別為

則兩個簡諧運動的合成之後的運動仍為簡諧運動，其方程為

其中，合振幅

為

與

的矢量和，如上圖所示。合振幅與合振動的初相的表達式如下所示： ^[1] 

設兩個同方向不同頻率的簡諧運動方程分別為

合振動的方程為

三角恆等變換後得到

由式子可知，同方向不同頻率的簡諧運動合成之後便不再是簡諧運動，它的振幅時而增大時而減小，合成波動圖如下所示。 ^[1] 

簡諧振動是最簡單最基本的振動，任何複雜的振動都可視為若干個簡諧運動的合成。而振動和波動的基本規律又是聲學、地震學、電工學、電子學、光學等的基礎。 ^[2] 

在電工學中有一種正弦交流電路是，是線性電路中當激勵（電壓源或電流源）按某一正弦規律變化，響應（電壓或電流）也為同頻率的正弦量時，電路的這種工作狀態稱為正弦穩態。此時的電路稱為正弦穩態電路，或正弦交流電路。它的電流可表示為

，其中I_m為正弦量的振幅，（ωt+φ_i）稱為相位或相角，ω稱為正弦量的角頻率，它是正弦量的相位隨時間變化的角速度。 ^[3] 

建築結構的受力分為靜力荷載和動力荷載，其中動力荷載中若荷載隨時間變化較大時則需要進行動力荷載驗算，如地震荷載。在動力荷載計算時，要以最簡單的單自由度體系的自由振動為基礎，如下圖懸臂立柱結構可簡化為一個彈簧振子模型。該自由振動的微分方程的解就是一個簡諧運動：

，其中A表示質點振動的最大位移，α為初相位。ω為自振頻率，僅與結構體系自身的質量和剛度有關，它是表明結構動力性能的重要指標。 ^[4]