圓錐曲線硬解定理

若曲線

，（m、n≠0）與直線

相交於

兩點,則:

其中

；

。

應用該定理於

①橢圓時：

焦點位x軸時：

，應將

代入。

焦點位於y軸時：

，應將

代入。

②雙曲線時：

焦點位於x軸時：

,應將

代入,同時

不應為零,即

不為零；

焦點位於y軸時：

,應將

代入,同時

不應為零,即

不為零

求解

與

時，只須將

與

的值互換且

與

的值互換。可知

與

的值不會因此而改變。

聯立曲線方程與

是現行高考中比聯立

更為普遍的現象。其中聯立後的二次方程是標準答案中必不可少的一項，

，

都可以直接通過韋達定理求得，唯獨弦長的表達式需要大量計算。這裏給出一個CGY-EH的斜率式簡化公式，以減少記憶量，以便在考試中套用。

若曲線

與直線：

相交於

兩點,則:

這裏的

既可以是常數，也可以是關於

的代數式。

由這個公式我們可以推出：

若曲線

為橢圓：

,則

若曲線

為雙曲線：

,則

由於在高考中CGY-EH定理不可以直接應用，因此現提供參考解題步驟：

解：

由

，得

設

由韋達定理，得：

①，

②；

由

，代入①②式，化簡得：

所以

注：對於橢圓：

與直線：

，聯立得：

；

對於雙曲線：

與直線：

，聯立得：

設曲線：

(mn

0，且m，n不同時為負數)與直線：

相交於E、F兩點，聯立兩式，得二次方程：

根據韋達定理，得:

由於

的意義僅在於正負性，且

恆成立，可令

，則

與

同號

由

(或

)

可得

令

，則可得CGY-EH定理: